色の違う8個のボールを区別できる3つの箱A, B, Cに入れる問題です。 (1) 箱Cにはボールを入れず、箱Aと箱Bには少なくとも1個は入れる場合の数を求めます。 (2) どの箱にも少なくとも1個はボールを入れる場合の数を求めます。

1. 問題の内容

色の違う8個のボールを区別できる3つの箱A, B, Cに入れる問題です。

(1) 箱Cにはボールを入れず、箱Aと箱Bには少なくとも1個は入れる場合の数を求めます。

(2) どの箱にも少なくとも1個はボールを入れる場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、8個のボールを箱Aと箱Bに入れる場合の総数を考えます。各ボールは箱Aか箱Bのどちらかに入るので、全部で $2^8$ 通りの入れ方があります。

次に、箱Aが空になる場合と箱Bが空になる場合を考えます。箱Aが空になるのは、すべてのボールが箱Bに入る場合なので1通りです。同様に、箱Bが空になるのも1通りです。

したがって、箱Aと箱Bの両方に少なくとも1個はボールが入る場合の数は、すべての入れ方から、箱Aが空になる場合と箱Bが空になる場合を引いたものです。

$2^8 - 1 - 1 = 256 - 2 = 254$ 通り。

(2)

まず、8個のボールを箱A, B, Cに入れるすべての方法を考えます。 各ボールは箱A, B, Cのいずれかに入れることができます。 したがって、すべての組み合わせの数は $3^8$ 通りです。

次に、少なくとも1つの箱が空になる場合の数を考えます。

・1つの箱が空になる場合

箱Cが空である場合、(1)より、箱Aと箱Bに少なくとも1個ずつボールが入る場合は254通り。

箱Aが空である場合、箱Bと箱Cに少なくとも1個ずつボールが入る場合の数は、$2^8 - 2 = 254$ 通り。

箱Bが空である場合、箱Aと箱Cに少なくとも1個ずつボールが入る場合の数は、$2^8 - 2 = 254$ 通り。

・2つの箱が空になる場合

2つの箱が空になるのは、1つの箱にすべてのボールが入る場合なので、Aのみ、Bのみ、Cのみの3通り。

包除原理より、少なくとも1つの箱が空である場合の数は、

$(2^8-2) + (2^8-2) + (2^8-2) + 3 = 3 \cdot 254 + 3 = 762 + 3 = 765$

しかし、箱Cが空であるという条件は、少なくともA,Bに一つずつ入ることを保証しています。一方、箱Aが空、または箱Bが空の場合には、Cに全てのボールが入る場合を除外する必要があるので、$3(2^8 - 2 - 1) + 3 = 3 \cdot 253 + 3 = 759+3=762$

よって、どの箱にも少なくとも1個はボールが入る場合の数は、

$3^8 - \{3(2^8-2) + 3 \} = 3^8 - 3(2^8) + 6 - 3 = 6561 - 3*256 + 3 = 6561 - 768 +3 = 5796$

ただし、$3^8 = 6561$ 通り

箱A,B,Cに入れる総数は $3^8$。 どの箱にも少なくとも1個入る場合の数は

$3^8 - (3 \times 2^8 - 3 \times 1) = 6561 - (3 \times 256 - 3) = 6561 - 768 + 3 = 5796$

3. 最終的な答え

(1) 254通り

(2) 5796通り