ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。 $n(A) = 65, n(B) = 40, n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 11, n(B \cup C) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$のとき、以下の問いに答えよ。 (1) c大学を受験した人は何人か。 (2) a大学, b大学, c大学のすべてを受験した人は何人か。

1. 問題の内容

ある大学の入学者のうち、a大学、b大学、c大学を受験した人全体の集合をそれぞれA, B, Cで表す。

$n(A) = 65, n(B) = 40, n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 11, n(B \cup C) = 55, n(C \cup A) = 78, n(A \cup B \cup C) = 99$のとき、以下の問いに答えよ。

(1) c大学を受験した人は何人か。

(2) a大学, b大学, c大学のすべてを受験した人は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

包除原理より、$n(A \cup C) = n(A) + n(C) - n(A \cap C)$である。

$n(C \cup A) = n(C) + n(A) - n(C \cap A)$を変形して、$n(C) = n(C \cup A) + n(C \cap A) - n(A)$となる。

与えられた値より、$n(C \cup A) = 78, n(C \cap A) = 11, n(A) = 65$なので、$n(C) = 78 + 11 - 65 = 24$となる。

(2)

包除原理より、$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$である。

$n(A \cup B \cup C) = 99, n(A) = 65, n(B) = 40, n(C) = 24, n(A \cap B) = 14, n(C \cap A) = 11$である。

また、$n(B \cup C) = n(B) + n(C) - n(B \cap C)$より、$n(B \cap C) = n(B) + n(C) - n(B \cup C) = 40 + 24 - 55 = 9$である。

したがって、$99 = 65 + 40 + 24 - 14 - 9 - 11 + n(A \cap B \cap C)$となる。

$99 = 95 + n(A \cap B \cap C)$より、$n(A \cap B \cap C) = 99 - 95 = 4$となる。

3. 最終的な答え

(1) c大学を受験した人は24人。

(2) a大学, b大学, c大学のすべてを受験した人は4人。