袋の中に赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入っている。この袋から4つの玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求める。 (1) 取り出した4つの玉の中に白玉が入っていない確率 (2) 取り出した4つの玉の中に青玉が入っている確率 (3) 取り出した4つの玉の中に赤玉、青玉、白玉のすべてが入っている確率

1. 問題の内容

袋の中に赤玉4個、青玉3個、白玉2個が入っている。この袋から4つの玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求める。

(1) 取り出した4つの玉の中に白玉が入っていない確率

(2) 取り出した4つの玉の中に青玉が入っている確率

(3) 取り出した4つの玉の中に赤玉、青玉、白玉のすべてが入っている確率

2. 解き方の手順

(1) 白玉が入っていない確率

全事象は、9個の玉から4個を取り出す組み合わせなので、

$_{9}C_{4} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$通り。

白玉が入っていないのは、赤玉と青玉の合計7個から4個を取り出す場合なので、

$_{7}C_{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

したがって、求める確率は

$\frac{35}{126} = \frac{5}{18}$

(2) 青玉が入っている確率

余事象を考える。つまり、青玉が入っていない確率を求めて、1から引く。

青玉が入っていないのは、赤玉4個と白玉2個の合計6個から4個を取り出す場合なので、

$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

したがって、青玉が入っていない確率は $\frac{15}{126} = \frac{5}{42}$。

よって、青玉が入っている確率は

$1 - \frac{5}{42} = \frac{42-5}{42} = \frac{37}{42}$

(3) 赤玉、青玉、白玉のどれもが入っている確率

4つの玉の中に赤、青、白が全て入っているということは、少なくとも1個は赤玉、少なくとも1個は青玉、少なくとも1個は白玉が入っているということである。

考えられるパターンは以下の2通り。

(i) 赤2個、青1個、白1個

(ii) 赤1個、青2個、白1個

(iii) 赤1個、青1個、白2個

(i) 赤2個、青1個、白1個の場合

$_{4}C_{2} \times _{3}C_{1} \times _{2}C_{1} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 3 \times 2 = 6 \times 3 \times 2 = 36$通り。

(ii) 赤1個、青2個、白1個の場合

$_{4}C_{1} \times _{3}C_{2} \times _{2}C_{1} = 4 \times \frac{3 \times 2}{2 \times 1} \times 2 = 4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

(iii) 赤1個、青1個、白2個の場合

$_{4}C_{1} \times _{3}C_{1} \times _{2}C_{2} = 4 \times 3 \times 1 = 12$通り。

合計は$36+24+12=72$通り。

したがって、求める確率は

$\frac{72}{126} = \frac{4}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{18}$

(2) $\frac{37}{42}$

(3) $\frac{4}{7}$