この問題は確率に関する問題で、以下の6つの小問から構成されています。 1. 0から5までの数字が書かれた6枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作る場合の数と、そのうち偶数の個数を求める。

1. 問題の内容

この問題は確率に関する問題で、以下の6つの小問から構成されています。

1. 0から5までの数字が書かれた6枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作る場合の数と、そのうち偶数の個数を求める。

2. 男子3人、女子4人が一列に並ぶとき、女子同士が隣り合わない並び方の数を求める。

3. 図のような道路において、AからBへの最短経路の総数と、PとQの両方を通る最短経路の総数を求める。

4. 3つのサイコロを同時に投げるとき、3つとも同じ目が出る確率と、3つとも4以下の目が出る確率を求める。

5. 赤球5個、青球2個が入った袋から2個の球を同時に取り出すとき、赤球と青球が1個ずつである確率を求める。

6. 3枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚は裏が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

1. 3桁の整数の場合

* 百の位は0以外なので、5通り。

* 十の位は百の位で使った数字以外なので、5通り。

* 一の位は百の位と十の位で使った数字以外なので、4通り。

* したがって、全部で $5 \times 5 \times 4 = 100$ 個

偶数の場合

* 一の位が偶数の場合を考える。一の位が0, 2, 4の場合に分けて考える。

* 一の位が0の場合：百の位は5通り、十の位は4通りなので $5 \times 4 = 20$通り

* 一の位が2, 4の場合：百の位は0と一の位の数字以外なので4通り、十の位は4通りなので、$2 \times 4 \times 4 = 32$通り

* よって、全部で $20 + 32 = 52$ 個

2. 男子3人、女子4人が一列に並ぶ場合

* まず男子3人を並べる。これは $3! = 6$ 通り。

* 次に、男子の間または端に女子が入る場所を考える。男子の間と端は4箇所あるので、その4箇所から4人分の場所を選ぶ。これは $4! = 24$ 通り。

* 女子の並び方は $4! = 24$通り。

* したがって、全部で $6 \times 24 = 144$ 通り。

3. 最短経路の問題

(1) AからBへの最短経路

* 右に3回、上に2回移動する必要がある。

* これは、5回の移動のうち、右に3回移動する組み合わせを考えるのと同じ。

* したがって、${5 \choose 3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通り

(2) PとQの両方を通る最短経路

* AからPへの最短経路は、右に1回、上に1回移動なので、${2 \choose 1} = 2$ 通り。

* PからQへの最短経路は、右に1回、上に0回移動なので、1通り。

* QからBへの最短経路は、右に1回、上に1回移動なので、${2 \choose 1} = 2$ 通り。

* したがって、全部で $2 \times 1 \times 2 = 4$ 通り。

4. サイコロの問題

(1) 3つとも同じ目が出る確率

* サイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通り。

* 3つとも同じ目が出るのは、(1, 1, 1), (2, 2, 2), ..., (6, 6, 6) の6通り。

* したがって、確率は $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$

(2) 3つとも4以下の目が出る確率

* 3つとも4以下の目が出るのは、各サイコロについて4通りの出方があるから、$4^3 = 64$ 通り。

* したがって、確率は $\frac{64}{216} = \frac{8}{27}$

5. 球を取り出す問題

* 全部で球を取り出す組み合わせは ${7 \choose 2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ 通り。

* 赤球1個、青球1個を取り出す組み合わせは $5 \times 2 = 10$ 通り。

* したがって、確率は $\frac{10}{21}$

6. 硬貨の問題

* 3枚の硬貨を投げるときの全部の出方は $2^3 = 8$ 通り。

* 少なくとも1枚が裏である確率は、すべて表である場合を全体から引けば良い。

* すべて表である場合は1通り。

* したがって、確率は $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

1. 全部: 100個、偶数: 52個

2. 144通り

3. (1) 10通り, (2) 4通り

4. (1) $\frac{1}{36}$, (2) $\frac{8}{27}$

5. $\frac{10}{21}$

6. $\frac{7}{8}$