母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の8個を1列に並べる。 (1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。 (2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の8個を1列に並べる。

(1) 両端が母音であるような並べ方は何通りあるか。

(2) 母音5個が続いて並ぶような並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 両端が母音である場合：

まず、両端に母音を配置する方法を考えます。5つの母音から2つを選んで並べるので、その場合の数は $5P2 = 5 \times 4 = 20$ 通りです。

次に、残りの6つの文字（3つの子音と3つの母音）を並べる方法を考えます。これは6つの文字を自由に並べる順列なので、$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ 通りです。

したがって、両端が母音であるような並べ方の総数は、$20 \times 720 = 14400$ 通りです。

(2) 母音5個が続いて並ぶ場合：

まず、母音5個をひとまとめにして考えます。このひとまとめにした母音のグループと、3つの子音の計4つのものを並べる順列を考えます。これは $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通りです。

次に、ひとまとめにした母音5個の並べ方を考えます。これは $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りです。

したがって、母音5個が続いて並ぶような並べ方の総数は、$24 \times 120 = 2880$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 14400 通り

(2) 2880 通り