袋の中に白球、赤球、青球がそれぞれ $n$ 個、黒球が1個、合計 $3n+1$ 個入っている。取り出した球は袋に戻さないものとして、以下の確率を求める。 (1) 3回目に取り出した球が黒球である確率 (2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球が取り出されていない確率 (3) 黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球のいずれも少なくとも1つずつ取り出されている確率

1. 問題の内容

袋の中に白球、赤球、青球がそれぞれ $n$ 個、黒球が1個、合計 $3n+1$ 個入っている。取り出した球は袋に戻さないものとして、以下の確率を求める。

(1) 3回目に取り出した球が黒球である確率

(2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球が取り出されていない確率

(3) 黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球のいずれも少なくとも1つずつ取り出されている確率

2. 解き方の手順

(1) 3回目に取り出した球が黒球である確率

全事象は $(3n+1)(3n)(3n-1)$ 通り。

3回目に取り出した球が黒球である確率を求める。

1回目、2回目の球の種類によって場合分けする。

- 1,2回目が黒球以外の場合：$3n \times (3n-1) \times 1$

- 1回目が黒球、2回目が黒球以外の場合：$1 \times 3n \times (3n-1)$

- 1回目が黒球以外、2回目が黒球の場合：$3n \times 1 \times (3n-1)$

3回目に取り出した球が黒球である確率は、

$\frac{3n \times (3n-1)}{(3n+1)(3n)(3n-1)} = \frac{1}{3n+1}$。これは黒球が何番目に取り出されるかの確率が等しいことを示している。

(2) 黒球を取り出すまでに赤球と青球が取り出されていない確率

これは、黒球を取り出すまでに白球と黒球のみを取り出す確率を求める。

黒球が $k$ 番目($1 \le k \le n+2$)に取り出される場合を考える。

その確率は $\frac{n(n-1)\dots (n-k+2)}{(3n+1)(3n)\dots (3n-k+3)}\times \frac{1}{3n-k+2}$で計算される。ここで、白球を $(k-1)$ 個取り出した後に黒球を引く確率を計算している。

よって、求める確率は$\frac{(n+1)}{(3n+1)}$

(3) 黒球を取り出すまでに白球、赤球、青球のいずれも少なくとも1つずつ取り出されている確率

これは、1 - (少なくとも1種類が取り出されていない確率) で計算できる。

少なくとも1種類が取り出されていないのは、

- 白球のみ

- 赤球のみ

- 青球のみ

- 白球と赤球のみ

- 白球と青球のみ

- 赤球と青球のみ

このいずれかが起こる場合である。

(2)より、白球のみである確率は$\frac{n+1}{3n+1}$

赤球、青球のみである確率も同様に$\frac{n+1}{3n+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3n+1}$

(2) $\frac{n(n-1)\dots(n-k+2) \times 1}{(3n+1)(3n)\dots(3n-k+3)(3n-k+2)} = \frac{n+1}{3n+1}$

(3) $1 - \frac{3(n+1)}{3n+1}$

1- $\frac{2n}{3n+1}$