男子3人、女子4人が一列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りか。 (1) 両端がいずれも女子である。 (2) 男子3人が連なって並ぶ。 (3) 女子4人が連なって並ばない。

1. 問題の内容

男子3人、女子4人が一列に並ぶとき、以下の条件を満たす並び方は何通りか。

(1) 両端がいずれも女子である。

(2) 男子3人が連なって並ぶ。

(3) 女子4人が連なって並ばない。

2. 解き方の手順

(1) 両端がいずれも女子である場合

まず、両端の女子の選び方を考える。4人の女子から2人を選ぶので、その選び方は $4 \times 3 = 12$ 通り。

次に、残りの5人の並び方を考える。残りの5人の並び方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

したがって、両端が女子である並び方は $12 \times 120 = 1440$ 通り。

(2) 男子3人が連なって並ぶ場合

まず、男子3人を1つのグループとして考える。すると、グループと女子4人の合計5つのものを並べることになる。この並べ方は $5! = 120$ 通り。

次に、男子3人のグループ内での並び方を考える。男子3人の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、男子3人が連なって並ぶ並び方は $120 \times 6 = 720$ 通り。

(3) 女子4人が連なって並ばない場合

まず、全体の並び方を計算する。男子3人、女子4人の合計7人の並び方は $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ 通り。

次に、女子4人が連なって並ぶ場合を計算する。女子4人を1つのグループとして考えると、男子3人と女子グループの合計4つのものを並べることになる。この並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

女子グループ内での並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

したがって、女子4人が連なって並ぶ並び方は $24 \times 24 = 576$ 通り。

女子4人が連なって並ばない並び方は、全体の並び方から女子4人が連なって並ぶ場合を引けば良い。

$5040 - 576 = 4464$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 1440通り

(2) 720通り

(3) 4464通り