(1) 教師2人と生徒4人が円卓を囲むとき、教師が隣り合わない座り方は何通りあるか。また、そのうち教師が向かい合う座り方は何通りあるか。 (2) 5人の大人と3人の子どもが円形のテーブルの周りに座るとき、子ども同士が隣り合わない座り方は何通りあるか。ただし、回転して一致するものは同じ座り方とみなす。

1. 問題の内容

(1) 教師2人と生徒4人が円卓を囲むとき、教師が隣り合わない座り方は何通りあるか。また、そのうち教師が向かい合う座り方は何通りあるか。

(2) 5人の大人と3人の子どもが円形のテーブルの周りに座るとき、子ども同士が隣り合わない座り方は何通りあるか。ただし、回転して一致するものは同じ座り方とみなす。

2. 解き方の手順

(1)

まず、6人全員が円卓に座る座り方の総数を求めます。これは $(6-1)! = 5! = 120$ 通りです。

次に、教師2人が隣り合う座り方を求めます。教師2人を1つのグループとして考えると、生徒4人と合わせて5つのグループになります。これらのグループの円順列は $(5-1)! = 4! = 24$ 通りです。また、教師2人の並び方は2通りあります。したがって、教師2人が隣り合う座り方は $24 \times 2 = 48$ 通りです。

したがって、教師が隣り合わない座り方は $120 - 48 = 72$ 通りです。

次に、教師が向かい合う座り方を考えます。まず、教師の一人を固定します。もう一人の教師は、その教師の向かい側に座らなければなりません。残りの4人の生徒は、残りの4つの席に自由に座ることができます。この座り方は $4! = 24$ 通りです。

(2)

まず、5人の大人を円形テーブルに座らせます。これは $(5-1)! = 4! = 24$ 通りの座り方があります。

次に、3人の子どもを座らせます。子ども同士が隣り合わないようにするためには、大人と大人の間に子どもを座らせる必要があります。大人5人の間に5つの隙間があり、そのうちの3つの隙間を選んで子どもを座らせます。この選び方は $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通りです。

したがって、子ども同士が隣り合わない座り方は $24 \times 60 = 1440$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1)

教師が隣り合わない座り方は 72 通り。

教師が向かい合う座り方は 24 通り。

(2)

子ども同士が隣り合わない座り方は 1440 通り。