標本空間 $U$ の事象 $A$ について、$P(A) = 1 - P(A^c)$ が成り立つことを示すために、確率の公理の条件のうち、適切なものを選択する。$U = A \sqcup A^c$ だから、確率の公理の条件(1)によって、$1 = P(A) + P(A^c)$ から成り立つことがわかる。(1)に当てはまる条件を全て選ぶ。

1. 問題の内容

標本空間 $U$ の事象 $A$ について、$P(A) = 1 - P(A^c)$ が成り立つことを示すために、確率の公理の条件のうち、適切なものを選択する。$U = A \sqcup A^c$ だから、確率の公理の条件(1)によって、$1 = P(A) + P(A^c)$ から成り立つことがわかる。(1)に当てはまる条件を全て選ぶ。

2. 解き方の手順

$U = A \sqcup A^c$ は、$A$ と $A^c$ が排反であることを意味する。排反な事象の和の確率に関する公理は、選択肢cにある。また、全事象 $U$ の確率は 1 であるという公理は、選択肢bにある。

$A$と$A^c$は排反事象なので、$P(A \sqcup A^c) = P(A) + P(A^c)$ が成り立つ。

ここで、$U = A \sqcup A^c$ なので、$P(U) = P(A \sqcup A^c)$。

したがって、$P(U) = P(A) + P(A^c)$。

$P(U) = 1$ であることから、$1 = P(A) + P(A^c)$ が得られる。

選択肢aの $P(\emptyset) = 0$ は、ここでは直接的には関係がない。

選択肢dの $0 \le P(A) \le 1$ は、確率の基本的な性質であるが、今回の証明の直接的な根拠とは言えない。

したがって、選択肢bの $P(U) = 1$ と選択肢cの $A$と$B$が排反であるとき、$P(A \sqcup B) = P(A) + P(B)$ が成り立つ。が、今回の問題の条件(1)に当てはまる。

3. 最終的な答え

bとc