野球チームA, Bの過去15年間の対戦結果から、AとBの間に力の差があるかを、有意水準5%で検定する問題です。 (1)では、2009年から2018年までの100試合の結果を用いて、二項分布に従う確率変数Xの期待値と標準偏差を求め、標準化された変数$Z_1$を計算します。 (2)では、2019年から2023年までの50試合の結果を用いて、同様に標準化された変数$Z_2$を計算します。

1. 問題の内容

野球チームA, Bの過去15年間の対戦結果から、AとBの間に力の差があるかを、有意水準5%で検定する問題です。

(1)では、2009年から2018年までの100試合の結果を用いて、二項分布に従う確率変数Xの期待値と標準偏差を求め、標準化された変数$Z_1$を計算します。

(2)では、2019年から2023年までの50試合の結果を用いて、同様に標準化された変数$Z_2$を計算します。

2. 解き方の手順

(1)

* Aが勝つ確率を$p = \frac{1}{2}$、試合数を$n=100$とした二項分布$B(100, \frac{1}{2})$に従う。

* 期待値$m_1$は、$m_1 = np = 100 \times \frac{1}{2} = 50$

* 標準偏差$\sigma_1$は、$\sigma_1 = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$

* $X=60$のとき、$Z_1 = \frac{X - m_1}{\sigma_1} = \frac{60 - 50}{5} = \frac{10}{5} = 2$

(2)

* Aが勝つ確率を$p = \frac{1}{2}$、試合数を$n=50$とした二項分布$B(50, \frac{1}{2})$に従う。

* 期待値$m_2$は、$m_2 = np = 50 \times \frac{1}{2} = 25$

* 標準偏差$\sigma_2$は、$\sigma_2 = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{50}{4}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$

* $Y=30$のとき、$Z_2 = \frac{Y - m_2}{\sigma_2} = \frac{30 - 25}{\frac{5\sqrt{2}}{2}} = \frac{5}{\frac{5\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2}=1.4142$を使うと、$Z_2 \approx 1.4142$

3. 最終的な答え

(1) サシ = 50, ス = 5, セ = 2

(2) ソ = 1, タチツ = 4142