ある家電メーカーが生産する電球の消費電力は平均 9.8W、標準偏差 0.7W である。この電球を無作為に 50 個抽出したとき、標本平均が従う正規分布の平均と分散を求め、消費電力の平均が 10W 以上になる確率を求めよ。

1. 問題の内容

ある家電メーカーが生産する電球の消費電力は平均 9.8W、標準偏差 0.7W である。この電球を無作為に 50 個抽出したとき、標本平均が従う正規分布の平均と分散を求め、消費電力の平均が 10W 以上になる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

母集団の平均を $\mu$、標準偏差を $\sigma$ とする。

標本サイズを $n$ とする。

標本平均 $\bar{X}$ の分布は、中心極限定理により、近似的に正規分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ に従う。

この問題では、$\mu = 9.8$ W, $\sigma = 0.7$ W, $n = 50$ である。

したがって、標本平均 $\bar{X}$ の分布は $N(9.8, \frac{0.7^2}{50})$、つまり $N(9.8, \frac{0.49}{50}) = N(9.8, 0.0098)$ に近似的に従う。

したがって、標本平均の平均は $\mu = 9.8$ であり、分散は $\frac{\sigma^2}{n} = \frac{0.49}{50} = 0.0098$ である。

次に、消費電力の平均が 10W 以上になる確率 $P(\bar{X} \ge 10)$ を求める。

$\bar{X}$ を標準化する。

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 9.8}{0.7 / \sqrt{50}}$

$P(\bar{X} \ge 10) = P(Z \ge \frac{10 - 9.8}{0.7 / \sqrt{50}}) = P(Z \ge \frac{0.2}{0.7 / \sqrt{50}}) = P(Z \ge \frac{0.2 \sqrt{50}}{0.7})$

$\frac{0.2 \sqrt{50}}{0.7} \approx \frac{0.2 \times 7.071}{0.7} \approx \frac{1.4142}{0.7} \approx 2.0203$

$P(Z \ge 2.0203) = 1 - P(Z < 2.0203) \approx 1 - 0.9783 = 0.0217$

3. 最終的な答え

平均: 9.8

分散: 0.0098

確率: 0.0217