じゃんけんの問題で、グー、チョキ、パーを出す確率がそれぞれ $\frac{1}{3}$ であるとする。 (1) A, B の2人でじゃんけんを行う場合の、Aが勝つ確率、あいこになる確率、3回じゃんけんを行ってAが2勝1敗となる確率を求める。 (2) A, B, C の3人でじゃんけんを行う場合の、Aだけが勝つ確率、あいこになる確率、2回目のじゃんけんで初めてAだけが残る確率、2回じゃんけんを行ってAが負けないで残っている確率を求める。ただし、負けた人は次のじゃんけんに参加できない。また、1回目のじゃんけんでAだけが残る場合は除く。

1. 問題の内容

じゃんけんの問題で、グー、チョキ、パーを出す確率がそれぞれ $\frac{1}{3}$ であるとする。

(1) A, B の2人でじゃんけんを行う場合の、Aが勝つ確率、あいこになる確率、3回じゃんけんを行ってAが2勝1敗となる確率を求める。

(2) A, B, C の3人でじゃんけんを行う場合の、Aだけが勝つ確率、あいこになる確率、2回目のじゃんけんで初めてAだけが残る確率、2回じゃんけんを行ってAが負けないで残っている確率を求める。ただし、負けた人は次のじゃんけんに参加できない。また、1回目のじゃんけんでAだけが残る場合は除く。

2. 解き方の手順

(1) A, Bの2人でじゃんけんを行う場合

* Aが勝つ確率：Aがグー、Bがチョキ、またはAがチョキ、Bがパー、またはAがパー、Bがグーの3パターンがある。それぞれ確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ なので、Aが勝つ確率は $3 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$

* あいこになる確率：AとBが同じ手を出す3パターンがある。それぞれ確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ なので、あいこになる確率は $3 \times \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$

* 3回じゃんけんを行ってAが2勝1敗となる確率：3回のうちAが2回勝ち、1回負ける組み合わせは ${}_3 \mathrm{C}_2 = 3$ 通り。Aが勝つ確率は $\frac{1}{3}$、Aが負ける確率は $\frac{1}{3}$ なので、求める確率は $3 \times (\frac{1}{3})^2 \times \frac{1}{3} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

(2) A, B, Cの3人でじゃんけんを行う場合

* Aだけが勝つ確率：AがグーでB,Cがチョキ、AがチョキでB,Cがパー、AがパーでB,Cがグーの3パターンがある。それぞれの確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27}$ なので、Aだけが勝つ確率は $3 \times \frac{1}{27} = \frac{1}{9}$

* あいこになる確率：3人とも同じ手を出すか、3人とも異なる手を出すかの2パターン。3人とも同じ手の確率は $3 \times (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{9}$。3人とも異なる手の確率は $\frac{3!}{3^3} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$。よって、あいこになる確率は $\frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

* 2回目のじゃんけんで初めてAだけが残る確率：1回目はあいこで、2回目にAだけが勝つ必要がある。1回目があいこの確率は $\frac{1}{3}$。2回目にAだけが勝つ確率は $\frac{1}{9}$。よって求める確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$

* 2回じゃんけんを行って、Aが負けないで残っている確率(ただし、1回目のじゃんけんでAだけが残る場合を除く)：

1回目あいこ、2回目Aだけが勝つ: $\frac{1}{3} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$

1回目Aが勝ち、誰か1人が負けて、2回目Aだけが勝つ場合は除く。

1回目A以外の1人が勝ち、2回目Aが勝つ場合、1回目BまたはCのいずれかがA以外の全員に勝つ確率は$2\times(\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}) = \frac{2}{9}$. 2回目にAが勝つ確率は$\frac{1}{9}$なので、確率は$\frac{2}{9}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{27}$.

これらを足すと$\frac{1}{27}+\frac{2}{27}=\frac{3}{27}=\frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

(1)

ア/イ: 1/3

ウ/エ: 1/3

オ/カ: 1/9

(2)

キ/ク: 1/9

ケ/コ: 1/3

サ/シ: 1/27

スセ/ソタ: 1/9