(1) 5組のデータ$(x, y)$が与えられている。$x$と$y$の相関係数を求めよ。 (2) 20個の値からなるデータがある。そのうち15個の値の平均値は10で分散は5であり、残りの5個の値の平均値は14で分散は13である。このデータの平均値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 5組のデータ$(x, y)$が与えられている。$x$と$y$の相関係数を求めよ。

(2) 20個の値からなるデータがある。そのうち15個の値の平均値は10で分散は5であり、残りの5個の値の平均値は14で分散は13である。このデータの平均値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数$r$は、以下の式で計算できます。

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$

ここで、$S_{xy} = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$、$S_{xx} = \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$、$S_{yy} = \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2$です。

まず、$x$と$y$の平均$\bar{x}$と$\bar{y}$を計算します。

$\bar{x} = \frac{12 + 14 + 11 + 8 + 10}{5} = \frac{55}{5} = 11$

$\bar{y} = \frac{11 + 12 + 14 + 10 + 8}{5} = \frac{55}{5} = 11$

次に、$S_{xy}$、$S_{xx}$、$S_{yy}$を計算します。

$S_{xy} = (12-11)(11-11) + (14-11)(12-11) + (11-11)(14-11) + (8-11)(10-11) + (10-11)(8-11)$

$= 1 \times 0 + 3 \times 1 + 0 \times 3 + (-3) \times (-1) + (-1) \times (-3) = 0 + 3 + 0 + 3 + 3 = 9$

$S_{xx} = (12-11)^2 + (14-11)^2 + (11-11)^2 + (8-11)^2 + (10-11)^2$

$= 1^2 + 3^2 + 0^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = 1 + 9 + 0 + 9 + 1 = 20$

$S_{yy} = (11-11)^2 + (12-11)^2 + (14-11)^2 + (10-11)^2 + (8-11)^2$

$= 0^2 + 1^2 + 3^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = 0 + 1 + 9 + 1 + 9 = 20$

したがって、$r = \frac{9}{\sqrt{20 \times 20}} = \frac{9}{20} = 0.45$

(2) 全体の平均$\bar{X}$は、各グループの平均を用いて、

$\bar{X} = \frac{15 \times 10 + 5 \times 14}{20} = \frac{150 + 70}{20} = \frac{220}{20} = 11$

全体の分散$V$は、

$V = \frac{1}{20} \left[ 15(5 + (10-11)^2) + 5(13 + (14-11)^2) \right] = \frac{1}{20} \left[ 15(5+1) + 5(13+9) \right] = \frac{1}{20} \left[ 15(6) + 5(22) \right] = \frac{1}{20} [90 + 110] = \frac{200}{20} = 10$

3. 最終的な答え

(1) 相関係数: 0.45

(2) 平均値: 11、分散: 10