2つのサイコロを同時に1回振り、出た目の和が3または11であれば当たり、そうでなければハズレとする。この試行を当たりが3回となるまで繰り返すとき、ちょうど$n$回目で終わる確率を$p(n)$とする。 (1) $p(3)$と$p(4)$を求めよ。 (2) $n \ge 3$に対して、$\frac{p(n+1)}{p(n)}$を$n$の式で表せ。 (3) $p(n)$が最大となる$n$の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つのサイコロを同時に1回振り、出た目の和が3または11であれば当たり、そうでなければハズレとする。この試行を当たりが3回となるまで繰り返すとき、ちょうど$n$回目で終わる確率を$p(n)$とする。

(1) $p(3)$と$p(4)$を求めよ。

(2) $n \ge 3$に対して、$\frac{p(n+1)}{p(n)}$を$n$の式で表せ。

(3) $p(n)$が最大となる$n$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で当たりが出る確率を求める。

サイコロの目の和が3になるのは (1, 2), (2, 1) の2通り。

サイコロの目の和が11になるのは (5, 6), (6, 5) の2通り。

したがって、当たりが出る確率は $\frac{2+2}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ である。

ハズレが出る確率は $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ である。

(1)

$p(3)$は3回目に終わるので、3回とも当たりが出る確率である。

したがって、$p(3) = (\frac{1}{9})^3 = \frac{1}{729}$

$p(4)$は4回目に終わるので、3回目までに2回当たりが出て、4回目に当たりが出る確率である。

3回目までに2回当たりが出る確率は、二項分布より $_{3}C_{2} (\frac{1}{9})^2 (\frac{8}{9})^1 = 3 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{8}{9} = \frac{24}{729}$

4回目に当たりが出る確率は $\frac{1}{9}$

したがって、$p(4) = \frac{24}{729} \cdot \frac{1}{9} = \frac{24}{6561} = \frac{8}{2187}$

(2)

$p(n)$は$n$回目に終わるので、$n-1$回目までに2回当たりが出て、$n$回目に当たりが出る確率である。

$n-1$回目までに2回当たりが出る確率は、二項分布より $_{n-1}C_{2} (\frac{1}{9})^2 (\frac{8}{9})^{n-3}$

$n$回目に当たりが出る確率は $\frac{1}{9}$

したがって、$p(n) = _{n-1}C_{2} (\frac{1}{9})^2 (\frac{8}{9})^{n-3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{(n-1)(n-2)}{2} (\frac{1}{9})^3 (\frac{8}{9})^{n-3}$

$p(n+1)$は$n+1$回目に終わるので、$n$回目までに2回当たりが出て、$n+1$回目に当たりが出る確率である。

$n$回目までに2回当たりが出る確率は、二項分布より $_{n}C_{2} (\frac{1}{9})^2 (\frac{8}{9})^{n-2}$

$n+1$回目に当たりが出る確率は $\frac{1}{9}$

したがって、$p(n+1) = _{n}C_{2} (\frac{1}{9})^2 (\frac{8}{9})^{n-2} \cdot \frac{1}{9} = \frac{n(n-1)}{2} (\frac{1}{9})^3 (\frac{8}{9})^{n-2}$

$\frac{p(n+1)}{p(n)} = \frac{\frac{n(n-1)}{2} (\frac{1}{9})^3 (\frac{8}{9})^{n-2}}{\frac{(n-1)(n-2)}{2} (\frac{1}{9})^3 (\frac{8}{9})^{n-3}} = \frac{n(n-1)}{(n-1)(n-2)} \cdot \frac{(\frac{8}{9})^{n-2}}{(\frac{8}{9})^{n-3}} = \frac{n}{n-2} \cdot \frac{8}{9}$

(3)

$\frac{p(n+1)}{p(n)} > 1$ のとき、$p(n+1) > p(n)$

$\frac{n}{n-2} \cdot \frac{8}{9} > 1$

$\frac{8n}{9(n-2)} > 1$

$8n > 9(n-2)$

$8n > 9n - 18$

$n < 18$

$\frac{p(n+1)}{p(n)} = 1$ のとき、$p(n+1) = p(n)$

$\frac{n}{n-2} \cdot \frac{8}{9} = 1$

$8n = 9(n-2)$

$8n = 9n - 18$

$n = 18$

$\frac{p(n+1)}{p(n)} < 1$ のとき、$p(n+1) < p(n)$

$\frac{n}{n-2} \cdot \frac{8}{9} < 1$

$\frac{8n}{9(n-2)} < 1$

$8n < 9(n-2)$

$8n < 9n - 18$

$n > 18$

$n < 18$のとき、$p(n+1) > p(n)$

$n = 18$のとき、$p(n+1) = p(n)$

$n > 18$のとき、$p(n+1) < p(n)$

したがって、$p(n)$が最大となるのは$n=18$と$n=19$のときである。

しかし、問題は「p(n)が最大となるnの値を求めよ」なので、$n=18$または$n=19$のどちらかを答える必要がある。

$p(18) = p(19)$なので、どちらを答えても正解。

3. 最終的な答え

(1) $p(3) = \frac{1}{729}$, $p(4) = \frac{8}{2187}$

(2) $\frac{p(n+1)}{p(n)} = \frac{8n}{9(n-2)}$

(3) $n = 18$ または $n = 19$