座標平面上を動く点Pがあり、サイコロを振るごとに以下の規則に従って動きます。 * 1または2の目が出ると、x軸の正の方向に1進む * 3または4の目が出ると、y軸の正の方向に1進む * 5または6の目が出ると、直線$y=x$に関して対称な点に動く。ただし、直線$y=x$上にある場合はその位置にとどまる。 点Pは最初に原点にあります。 (1) 4回サイコロを振った後の点Pが直線$y=x$上にある確率を求めてください。 (2) $m$を$0 \le m \le n$を満たす整数とします。$n$回サイコロを振った後の点Pが直線$x+y=m$上にある確率を求めてください。

1. 問題の内容

座標平面上を動く点Pがあり、サイコロを振るごとに以下の規則に従って動きます。

* 1または2の目が出ると、x軸の正の方向に1進む

* 3または4の目が出ると、y軸の正の方向に1進む

* 5または6の目が出ると、直線$y=x$に関して対称な点に動く。ただし、直線$y=x$上にある場合はその位置にとどまる。

点Pは最初に原点にあります。

(1) 4回サイコロを振った後の点Pが直線$y=x$上にある確率を求めてください。

(2) $m$を$0 \le m \le n$を満たす整数とします。$n$回サイコロを振った後の点Pが直線$x+y=m$上にある確率を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 4回サイコロを振った後の点Pが直線$y=x$上にある確率を求める。

1,2の目が出る確率: 1/3

3,4の目が出る確率: 1/3

5,6の目が出る確率: 1/3

直線$y=x$上にあるためには、x座標とy座標が一致する必要があります。

4回のサイコロで、1,2の目が$k$回、3,4の目が$k$回、5,6の目が$4-2k$回出れば良い。ここで、$k$は$0 \le k \le 2$を満たす整数。

$k=0$の場合: 1,2,3,4の目が0回, 5,6の目が4回

確率は ${}_4C_0 (1/3)^0 (1/3)^0 (1/3)^4 = (1/3)^4 = 1/81$

$k=1$の場合: 1,2,3,4の目が1回ずつ, 5,6の目が2回

確率は ${}_4C_1 {}_3C_1 (1/3)^1 (1/3)^1 (1/3)^2 = 12 (1/3)^4 = 12/81$

$k=2$の場合: 1,2,3,4の目が2回ずつ, 5,6の目が0回

確率は ${}_4C_2 (1/3)^2 (1/3)^2 (1/3)^0 = 6 (1/3)^4 = 6/81$

よって、求める確率は $1/81 + 12/81 + 6/81 = 19/81$

(2) $n$回サイコロを振った後の点Pが直線$x+y=m$上にある確率を求める。

n回サイコロを振って、1,2の目が$i$回、3,4の目が$j$回、5,6の目が$n-i-j$回出たとすると、

点の座標は$(i,j)$から対称移動を$n-i-j$回繰り返したものになる。

$x+y = m$となるので、$i+j=m$でなければならない。

この時、$0 \le i \le m$ かつ $0 \le j \le n-i-j$なので、$i+j \le n$を満たす。

$x+y=m$上にあるということは、$(i, m-i)$または$(m-i,i)$である。

しかし、5,6の目が出た場合、x,yが入れ替わるため、移動後の座標を考える必要がある。

$n$回中、$i$回だけ1または2の目、$m-i$回だけ3または4の目、$n-m$回だけ5または6の目が出たとすると、

確率は、${}_nC_i {}_ {n-i}C_{m-i} (\frac{1}{3})^i (\frac{1}{3})^{m-i} (\frac{1}{3})^{n-m} = {}_nC_i {}_ {n-i}C_{m-i} (\frac{1}{3})^n$

点Pが$x+y=m$上にあるのは、$x+y=m$から移動しない場合。つまり偶数回$y=x$に関して対称移動する場合である。

$n-m=2k$ (kは整数) なら、$i$と$m-i$は入れ替わる可能性がある。しかし、最終的に和は変わらない。

一方、$n-m=2k+1$ (kは整数) なら、$i$と$m-i$は入れ替わる。

したがって、いずれにしても、確率は${}_nC_i {}_ {n-i}C_{m-i} (\frac{1}{3})^n$となる。

$i$は、$0 \le i \le m$を満たす整数。

求める確率は$\sum_{i=0}^m {}_nC_i {}_ {n-i}C_{m-i} (\frac{1}{3})^n$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{19}{81}$

(2) $\sum_{i=0}^m {}_nC_i {}_ {n-i}C_{m-i} (\frac{1}{3})^n$