(1) 2つの変量 $x$ と $y$ のデータが5組与えられているとき、$x$ と $y$ の相関係数を求める。 (2) 20個の値からなるデータがあり、そのうち15個の値の平均値は10で分散は5であり、残りの5個の値の平均値は14で分散は13である。このデータの平均値と分散を求める。

1. 問題の内容

(1) 2つの変量 $x$ と $y$ のデータが5組与えられているとき、$x$ と $y$ の相関係数を求める。

(2) 20個の値からなるデータがあり、そのうち15個の値の平均値は10で分散は5であり、残りの5個の値の平均値は14で分散は13である。このデータの平均値と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x$ と $y$ それぞれの平均値 $\bar{x}$ と $\bar{y}$ を求める。

$\bar{x} = \frac{12 + 14 + 11 + 8 + 10}{5} = \frac{55}{5} = 11$

$\bar{y} = \frac{11 + 12 + 14 + 10 + 8}{5} = \frac{55}{5} = 11$

次に、$x$ と $y$ の標準偏差 $s_x$ と $s_y$ を求める。

$s_x^2 = \frac{(12-11)^2 + (14-11)^2 + (11-11)^2 + (8-11)^2 + (10-11)^2}{5} = \frac{1 + 9 + 0 + 9 + 1}{5} = \frac{20}{5} = 4$

$s_x = \sqrt{4} = 2$

$s_y^2 = \frac{(11-11)^2 + (12-11)^2 + (14-11)^2 + (10-11)^2 + (8-11)^2}{5} = \frac{0 + 1 + 9 + 1 + 9}{5} = \frac{20}{5} = 4$

$s_y = \sqrt{4} = 2$

次に、$x$ と $y$ の共分散 $s_{xy}$ を求める。

$s_{xy} = \frac{(12-11)(11-11) + (14-11)(12-11) + (11-11)(14-11) + (8-11)(10-11) + (10-11)(8-11)}{5} = \frac{0 + 3 + 0 + 3 + 3}{5} = \frac{9}{5} = 1.8$

相関係数 $r$ は、

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{1.8}{2 \times 2} = \frac{1.8}{4} = 0.45$

(2)

20個の値の平均値 $\bar{x}$ は、

$\bar{x} = \frac{15 \times 10 + 5 \times 14}{20} = \frac{150 + 70}{20} = \frac{220}{20} = 11$

15個のデータの分散は5なので、

$\frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}(x_i - 10)^2 = 5$

$\sum_{i=1}^{15}(x_i - 10)^2 = 15 \times 5 = 75$

5個のデータの分散は13なので、

$\frac{1}{5}\sum_{i=16}^{20}(x_i - 14)^2 = 13$

$\sum_{i=16}^{20}(x_i - 14)^2 = 5 \times 13 = 65$

20個のデータの分散 $s^2$ は、

$s^2 = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}(x_i - 11)^2 = \frac{1}{20}\left[ \sum_{i=1}^{15}(x_i - 11)^2 + \sum_{i=16}^{20}(x_i - 11)^2 \right]$

ここで、

$\sum_{i=1}^{15}(x_i - 11)^2 = \sum_{i=1}^{15}((x_i - 10) - 1)^2 = \sum_{i=1}^{15}(x_i - 10)^2 - 2\sum_{i=1}^{15}(x_i - 10) + \sum_{i=1}^{15}1$

$= 75 + 15 - 2(\sum_{i=1}^{15}x_i - 150) = 90 - 2(150 - 150) = 90$

$\sum_{i=16}^{20}(x_i - 11)^2 = \sum_{i=16}^{20}((x_i - 14) + 3)^2 = \sum_{i=16}^{20}(x_i - 14)^2 + 6\sum_{i=16}^{20}(x_i - 14) + \sum_{i=16}^{20}9$

$= 65 + 6(\sum_{i=16}^{20}x_i - 70) + 45 = 110 + 6(70 - 70) = 110$

したがって、

$s^2 = \frac{1}{20}(90 + 110) = \frac{200}{20} = 10$

3. 最終的な答え

(1) 相関係数：0.45

(2) 平均値：11, 分散：10