(1) 変量 $x$ と $y$ の5組のデータが与えられている。これらのデータから $x$ と $y$ の相関係数を求める。 (2) 20個の値からなるデータがある。そのうち15個の値の平均値は10で分散は5であり、残りの5個の値の平均値は14で分散は13である。この20個のデータ全体の平均値と分散を求める。

1. 問題の内容

(1) 変量 $x$ と $y$ の5組のデータが与えられている。これらのデータから $x$ と $y$ の相関係数を求める。

(2) 20個の値からなるデータがある。そのうち15個の値の平均値は10で分散は5であり、残りの5個の値の平均値は14で分散は13である。この20個のデータ全体の平均値と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数 $r$ は、以下の式で計算される。

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

ここで、$S_{xy}$は $x$ と $y$ の共分散、$S_{xx}$は $x$ の分散、$S_{yy}$は $y$ の分散である。

まず、$x$ と $y$ の平均値を計算する。

$\bar{x} = \frac{12+14+11+8+10}{5} = \frac{55}{5} = 11$

$\bar{y} = \frac{11+12+14+10+8}{5} = \frac{55}{5} = 11$

次に、$S_{xx}, S_{yy}, S_{xy}$ を計算する。

$S_{xx} = (12-11)^2 + (14-11)^2 + (11-11)^2 + (8-11)^2 + (10-11)^2 = 1 + 9 + 0 + 9 + 1 = 20$

$S_{yy} = (11-11)^2 + (12-11)^2 + (14-11)^2 + (10-11)^2 + (8-11)^2 = 0 + 1 + 9 + 1 + 9 = 20$

$S_{xy} = (12-11)(11-11) + (14-11)(12-11) + (11-11)(14-11) + (8-11)(10-11) + (10-11)(8-11) = 0 + 3 + 0 + 3 + 3 = 9$

したがって、相関係数は、

$r = \frac{9}{\sqrt{20 \times 20}} = \frac{9}{20} = 0.45$

(2) 20個のデータの平均値を $\bar{X}$ とする。

$\bar{X} = \frac{15 \times 10 + 5 \times 14}{20} = \frac{150 + 70}{20} = \frac{220}{20} = 11$

次に、20個のデータの分散を $V$ とする。

全体の分散を求めるために、各群の二乗の平均を計算し、全体の二乗の平均を計算します。

15個のデータの分散が5であることから、

$\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{15} x_i^2 - 10^2 = 5$

$\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 15(5 + 100) = 15 \times 105 = 1575$

5個のデータの分散が13であることから、

$\frac{1}{5} \sum_{i=16}^{20} x_i^2 - 14^2 = 13$

$\sum_{i=16}^{20} x_i^2 = 5(13 + 196) = 5 \times 209 = 1045$

全データの二乗和は、

$\sum_{i=1}^{20} x_i^2 = 1575 + 1045 = 2620$

全データの分散は、

$V = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} x_i^2 - \bar{X}^2 = \frac{2620}{20} - 11^2 = 131 - 121 = 10$

3. 最終的な答え

(1) 相関係数: 0.45

(2) 平均値: 11, 分散: 10