(1) 5組のデータ $(x, y)$ が与えられている。$x$ と $y$ の相関係数を求めよ。 (2) 20個のデータがあり、そのうち15個の平均値は10、分散は5であり、残りの5個の平均値は14、分散は13である。20個のデータ全体の平均値と分散を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 5組のデータ $(x, y)$ が与えられている。$x$ と $y$ の相関係数を求めよ。

(2) 20個のデータがあり、そのうち15個の平均値は10、分散は5であり、残りの5個の平均値は14、分散は13である。20個のデータ全体の平均値と分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 相関係数 $r$ は、以下のように計算される。

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

ここで、$S_{xy}$ は $x$ と $y$ の共分散、$S_{xx}$ は $x$ の分散、$S_{yy}$ は $y$ の分散を表す。

まず、$x$ と $y$ の平均 $\bar{x}$ と $\bar{y}$ を計算する。

$\bar{x} = \frac{12 + 14 + 11 + 8 + 10}{5} = \frac{55}{5} = 11$

$\bar{y} = \frac{11 + 12 + 14 + 10 + 8}{5} = \frac{55}{5} = 11$

次に、$S_{xx}, S_{yy}, S_{xy}$ を計算する。

$S_{xx} = (12-11)^2 + (14-11)^2 + (11-11)^2 + (8-11)^2 + (10-11)^2 = 1 + 9 + 0 + 9 + 1 = 20$

$S_{yy} = (11-11)^2 + (12-11)^2 + (14-11)^2 + (10-11)^2 + (8-11)^2 = 0 + 1 + 9 + 1 + 9 = 20$

$S_{xy} = (12-11)(11-11) + (14-11)(12-11) + (11-11)(14-11) + (8-11)(10-11) + (10-11)(8-11) = 0 + 3 + 0 + 3 + 3 = 9$

したがって、

$r = \frac{9}{\sqrt{20 \times 20}} = \frac{9}{20} = 0.45$

(2) 全体の平均 $\bar{x}$ を計算する。

$\bar{x} = \frac{15 \times 10 + 5 \times 14}{20} = \frac{150 + 70}{20} = \frac{220}{20} = 11$

全体の分散 $s^2$ を計算する。

まず、15個のデータの二乗和の平均を計算する。

$s_1^2 = 5 = \frac{1}{15} \sum_{i=1}^{15} x_i^2 - 10^2$

$\sum_{i=1}^{15} x_i^2 = 15 (5 + 100) = 15 \times 105 = 1575$

次に、5個のデータの二乗和の平均を計算する。

$s_2^2 = 13 = \frac{1}{5} \sum_{i=16}^{20} x_i^2 - 14^2$

$\sum_{i=16}^{20} x_i^2 = 5 (13 + 196) = 5 \times 209 = 1045$

全体の分散は

$s^2 = \frac{1}{20} (\sum_{i=1}^{15} x_i^2 + \sum_{i=16}^{20} x_i^2) - \bar{x}^2$

$s^2 = \frac{1}{20} (1575 + 1045) - 11^2 = \frac{2620}{20} - 121 = 131 - 121 = 10$

3. 最終的な答え

(1) 相関係数: 0.45

(2) 平均値: 11, 分散: 10