標本空間 $U$ の事象 $A$ について、$P(A) = 1 - P(A^c)$ が成り立つことを示す。$U = A \sqcup A^c$ だから、確率の公理の条件 (1) によって、$1 = P(A) + P(A^c)$ から成り立つことがわかる。以下の条件のうち、(1) に入る適切な条件をすべて選べ。

1. 問題の内容

標本空間 $U$ の事象 $A$ について、$P(A) = 1 - P(A^c)$ が成り立つことを示す。$U = A \sqcup A^c$ だから、確率の公理の条件 (1) によって、$1 = P(A) + P(A^c)$ から成り立つことがわかる。以下の条件のうち、(1) に入る適切な条件をすべて選べ。

2. 解き方の手順

まず、$P(A) = 1 - P(A^c)$ を示す必要がある。これは、$P(A) + P(A^c) = 1$ を示すことと同値である。

$U = A \sqcup A^c$ であるから、$A$ と $A^c$ は互いに排反な事象である。確率の公理の1つに、「互いに排反な事象 $A$ と $B$ について、$P(A \sqcup B) = P(A) + P(B)$ が成り立つ」というものがある。

したがって、$P(U) = P(A \sqcup A^c) = P(A) + P(A^c)$ が成り立つ。また、確率の公理として、$P(U) = 1$ がある。

よって、$1 = P(A) + P(A^c)$ が成り立つ。

確率の公理の条件としては、以下のものが挙げられる。

* $P(\emptyset) = 0$

* $P(U) = 1$

* $A$ と $B$ が排反であるとき、$P(A \sqcup B) = P(A) + P(B)$

* すべての事象 $A \subset U$ に対し、$0 \leq P(A) \leq 1$ となる。

問題文から、$U = A \sqcup A^c$ だから、$P(U) = P(A \sqcup A^c)$ であり、これに適用できる公理は、$A$ と $B$ が排反であるとき、$P(A \sqcup B) = P(A) + P(B)$ である。 また、$P(U)=1$ も使用する。

3. 最終的な答え

b, c