ある町の人の血液型は2割がB型である。900人の献血者のうち200人以上がB型である確率を求める。標本比率 $R$ の平均、分散、$Z$ の式を求め、200人以上がB型である確率を計算する。

1. 問題の内容

ある町の人の血液型は2割がB型である。900人の献血者のうち200人以上がB型である確率を求める。標本比率 $R$ の平均、分散、$Z$ の式を求め、200人以上がB型である確率を計算する。

2. 解き方の手順

* 母比率 $p = 0.2$、標本の大きさ $n = 900$ である。

* $R$ の平均 $E(R)$ は母比率 $p$ に等しいので、 $E(R) = 0.2$ である。

* $R$ の分散 $V(R)$ は $\frac{p(1-p)}{n}$ で計算される。

$V(R) = \frac{0.2(1-0.2)}{900} = \frac{0.2 \times 0.8}{900} = \frac{0.16}{900} = \frac{16}{90000} = \frac{1}{5625}$

* $R$ は近似的に正規分布に従う。

* $X$ をB型の人の数とすると、$X$ は二項分布 $B(n, p) = B(900, 0.2)$ に従う。

$X$ の平均は $np = 900 \times 0.2 = 180$、分散は $np(1-p) = 900 \times 0.2 \times 0.8 = 144$

* 200人以上がB型である確率を求める。

$P(X \ge 200) = P(R \ge \frac{200}{900}) = P(R \ge \frac{2}{9})$

* $Z = \frac{R - E(R)}{\sqrt{V(R)}} = \frac{R - 0.2}{\sqrt{\frac{1}{5625}}} = \frac{R - 0.2}{\frac{1}{75}} = 75(R - 0.2)$

したがって、$Z = 75R - 15$

* $P(X \ge 200) = P(R \ge \frac{2}{9}) = P(Z \ge 75 \times \frac{2}{9} - 15) = P(Z \ge \frac{150}{9} - 15) = P(Z \ge \frac{50}{3} - \frac{45}{3}) = P(Z \ge \frac{5}{3}) = P(Z \ge 1.6667)$

* 標準正規分布表を用いて $P(Z \ge 1.6667)$ を求める。$P(Z \ge 1.67) \approx 0.0475$

3. 最終的な答え

* 母比率: 0.2

* 標本の大きさ: 900

* $E(R)$: 0.2

* $V(R) = 1/5625$

* $Z = 75R - 15$

* 200人以上がB型である確率: 0.0475