三角形ABCにおいて、∠A=60°, AB=8, AC=5であり、内心をIとする。ベクトルAB=ベクトルb, ベクトルAC=ベクトルcとするとき、ベクトルAIをベクトルb, ベクトルcを用いて表す問題。会話形式で、BD:DC, ベクトルAD, BD, AI:IDを求める過程を空欄を埋めながら進める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、∠A=60°, AB=8, AC=5であり、内心をIとする。ベクトルAB=ベクトルb, ベクトルAC=ベクトルcとするとき、ベクトルAIをベクトルb, ベクトルcを用いて表す問題。会話形式で、BD:DC, ベクトルAD, BD, AI:IDを求める過程を空欄を埋めながら進める。

2. 解き方の手順

ア：角の二等分線の性質より、BD:DC = AB:AC = 8:5。

イ：ベクトルADは、ベクトルbとベクトルcを用いて、ベクトルAD = (5/13)ベクトルb + (8/13)ベクトルc と表せる。

余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 40 = 49$ より、$BC = 7$。

ア：BD:DC = 8:5より、BD:DC = 8:5。

ウ：BD = (8/13)BC = (8/13)*7 = 56/13。

工：内心Iは角の二等分線上にあるので、AI:ID = (AB+AC):BC = (8+5):7 = 13:7。

オ：ベクトルAI = (AI/AD)ベクトルAD = (13/(13+7))ベクトルAD = (13/20)((5/13)ベクトルb + (8/13)ベクトルc) = (1/4)ベクトルb + (2/5)ベクトルc。

3. 最終的な答え

ア：8:5

イ：(5/13)ベクトルb + (8/13)ベクトルc

ウ：56/13

エ：13:7

オ：(1/4)ベクトルb + (2/5)ベクトルc