三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺OBを3:2に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、 (1) $\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。 (2) OPの延長とABの交点をQとするとき、(i) AQ:QBを求めよ。(ii) OP:PQを求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺OAを1:2に内分する点をC、辺OBを3:2に内分する点をDとする。線分ADと線分BCの交点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とするとき、

(1) $\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。

(2) OPの延長とABの交点をQとするとき、(i) AQ:QBを求めよ。(ii) OP:PQを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}$を用いて表す。

点Pは線分AD上にあるので、実数$s$を用いて、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{OD} = (1-s)\vec{a} + s\frac{3}{5}\vec{b}$ と表せる。

点Pは線分BC上にあるので、実数$t$を用いて、

$\vec{OP} = t\vec{OC} + (1-t)\vec{OB} = t\frac{1}{3}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$ と表せる。

よって、

$(1-s)\vec{a} + s\frac{3}{5}\vec{b} = t\frac{1}{3}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{t}{3}$ かつ $\frac{3s}{5} = 1-t$

$3 - 3s = t$ より $t = 3 - 3s$

$\frac{3s}{5} = 1 - (3-3s)$

$\frac{3s}{5} = -2 + 3s$

$3s = -10 + 15s$

$12s = 10$

$s = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

よって、

$\vec{OP} = (1-\frac{5}{6})\vec{a} + \frac{5}{6}\cdot\frac{3}{5}\vec{b} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2) OPの延長とABの交点をQとするとき、(i) AQ:QBを求めよ。(ii) OP:PQを求めよ。

(i) 点Qは直線OP上にあるので、実数$k$を用いて、

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = k(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{k}{6}\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b}$

点Qは線分AB上にあるので、実数$l$を用いて、

$\vec{OQ} = l\vec{OA} + (1-l)\vec{OB} = l\vec{a} + (1-l)\vec{b}$

よって、

$\frac{k}{6}\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b} = l\vec{a} + (1-l)\vec{b}$

$\vec{a}$と$\vec{b}$は一次独立なので、

$\frac{k}{6} = l$ かつ $\frac{k}{2} = 1-l$

$\frac{k}{6} + \frac{k}{2} = l + 1 - l = 1$

$\frac{k}{6} + \frac{3k}{6} = 1$

$\frac{4k}{6} = 1$

$k = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

$l = \frac{k}{6} = \frac{3/2}{6} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} = \frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{3}{4}\vec{OB}$

よって、AQ:QB = 3:1

(ii) $\vec{OP} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\vec{OQ} = \frac{3}{2}\vec{OP}$ なので、

$\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \frac{3}{2}\vec{OP} - \vec{OP} = \frac{1}{2}\vec{OP}$

よって、OP:PQ = 2:1

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OP} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(2) (i) AQ:QB = 3:1

(ii) OP:PQ = 2:1