$12^{80}$ の最高位の数字を求める問題です。

1. 問題の内容

$12^{80}$ の最高位の数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

常用対数を利用します。

まず、$12^{80}$ の常用対数を計算します。

$\log_{10} (12^{80}) = 80 \log_{10} 12$

$= 80 \log_{10} (3 \times 4) = 80 (\log_{10} 3 + \log_{10} 4) = 80 (\log_{10} 3 + 2 \log_{10} 2)$

$\log_{10} 2 \approx 0.3010$, $\log_{10} 3 \approx 0.4771$ を用いると、

$\log_{10} (12^{80}) \approx 80 (0.4771 + 2 \times 0.3010) = 80 (0.4771 + 0.6020) = 80 (1.0791) = 86.328$

したがって、$12^{80} = 10^{86.328} = 10^{86} \times 10^{0.328}$ となります。

$12^{80}$ の最高位の数字は $10^{0.328}$ で決まります。

$10^{0.328} = x$ とおくと、$\log_{10} x = 0.328$ です。

$\log_{10} 2 \approx 0.3010$, $\log_{10} 3 \approx 0.4771$ であるので、

$0.3010 < 0.328 < 0.4771$ より、 $2 < x < 3$ となります。

$10^{0.328}$ の値は 2 に近いことが分かります。

$10^{0.328}$ をより正確に評価するために、$10^{0.328} \approx 2.13$ となることがわかります。

したがって、$12^{80} = 10^{86} \times 10^{0.328} \approx 2.13 \times 10^{86}$

$12^{80}$ の最高位の数字は 2 です。

3. 最終的な答え

2