三角形ABCの3つの内角をそれぞれ$A, B, C$とするとき、次の等式が成り立つことを証明する。 $$\sin{\frac{A}{2}} = \cos{\frac{B+C}{2}}$$

1. 問題の内容

三角形ABCの3つの内角をそれぞれ$A, B, C$とするとき、次の等式が成り立つことを証明する。

$$\sin{\frac{A}{2}} = \cos{\frac{B+C}{2}}$$

2. 解き方の手順

三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、

$$A + B + C = 180^\circ$$

これを変形すると、

$$B + C = 180^\circ - A$$

両辺を2で割ると、

$$\frac{B+C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2}$$

したがって、

$$\cos{\frac{B+C}{2}} = \cos{\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right)}$$

ここで、余角の公式$\cos{(90^\circ - \theta)} = \sin{\theta}$を用いると、

$$\cos{\left(90^\circ - \frac{A}{2}\right)} = \sin{\frac{A}{2}}$$

よって、

$$\cos{\frac{B+C}{2}} = \sin{\frac{A}{2}}$$

$\sin{\frac{A}{2}} = \cos{\frac{B+C}{2}}$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\sin{\frac{A}{2}} = \cos{\frac{B+C}{2}}$