$a$ を実数の定数とする。二次方程式 $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ について、以下の条件を満たす $a$ の値の範囲を求める。 ア：異なる2つの実数解をもつ イ：正の解と負の解をもつ ウ：異なる2つの正の解をもつ

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数とする。二次方程式 $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ について、以下の条件を満たす $a$ の値の範囲を求める。

ア：異なる2つの実数解をもつ

イ：正の解と負の解をもつ

ウ：異なる2つの正の解をもつ

2. 解き方の手順

二次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3a - 2$ を考える。

ア：異なる2つの実数解をもつ条件

判別式 $D > 0$ が必要。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(3a - 2) = 4a^2 - 12a + 8 > 0$

$a^2 - 3a + 2 > 0$

$(a-1)(a-2) > 0$

よって、$a < 1$ または $a > 2$

イ：正の解と負の解をもつ条件

$f(0) < 0$ が必要。

$f(0) = 3a - 2 < 0$

$3a < 2$

$a < \frac{2}{3}$

ウ：異なる2つの正の解をもつ条件

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸の位置 $x = a > 0$

(iii) $f(0) > 0$

(i) $D > 0$ より、$a < 1$ または $a > 2$

(ii) $a > 0$

(iii) $f(0) = 3a - 2 > 0$

$3a > 2$

$a > \frac{2}{3}$

(i), (ii), (iii) を満たす $a$ の範囲は $\frac{2}{3} < a < 1$

3. 最終的な答え

ア：$a < 1$ または $a > 2$

イ：$a < \frac{2}{3}$

ウ：$\frac{2}{3} < a < 1$