複素数 $z$ に関する方程式 $z^3 = i$ の解を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する方程式 $z^3 = i$ の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $i$ を極形式で表します。$i = 0 + 1i$なので、絶対値は $|i| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ です。偏角は $\arg(i) = \frac{\pi}{2}$ です。したがって、複素数 $i$ の極形式は

$i = 1 \cdot \left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$

となります。

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ とおくと、ド・モアブルの定理より

$z^3 = r^3(\cos3\theta + i\sin3\theta)$

となります。

$z^3 = i$ なので、

$r^3(\cos3\theta + i\sin3\theta) = 1\cdot\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$

が成り立ちます。

したがって、

$r^3 = 1$ かつ $3\theta = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ ($n$は整数)

となります。

$r$ は実数なので、$r=1$です。

$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2n\pi}{3}$ ($n$は整数)

です。

$n=0, 1, 2$ のとき、それぞれ異なる解が得られます。

$n=0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}$

$n=1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

$n=2$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$

したがって、解は

$z = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$z = \cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$

$z = \cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = 0 - i = -i$

3. 最終的な答え

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, -i$