半径1の球Aに、半径$r$（$0 < r < 1$）の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となる$r$の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の球Aに、半径$r$（$0 < r < 1$）の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となる$r$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、立体の体積を$r$の関数として表す。

球Aの体積は $\frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$。

半球面Bの体積は $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$。

ここで、半球面Bが球Aとかぶさっている部分の体積を引く必要がある。かぶさっている部分は、球Aから切り取られた球冠である。

球冠の高さを$h$とすると、$h = r - \sqrt{1 - r^2}$。

球冠の体積は $\frac{1}{3}\pi h^2 (3 - h)$。

したがって、立体の体積$V(r)$は、

$V(r) = \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi h^2 (3 - h)$

$= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (r - \sqrt{1 - r^2})^2 (3 - (r - \sqrt{1 - r^2}))$

$= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (r^2 - 2r\sqrt{1 - r^2} + 1 - r^2)(3 - r + \sqrt{1 - r^2})$

$= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (1 - 2r\sqrt{1 - r^2})(3 - r + \sqrt{1 - r^2})$

$= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (3 - r + \sqrt{1 - r^2} - 6r\sqrt{1 - r^2} + 2r^2\sqrt{1 - r^2} - 2r(1 - r^2))$

$= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (3 - r + \sqrt{1 - r^2} - 6r\sqrt{1 - r^2} + 2r^2\sqrt{1 - r^2} - 2r + 2r^3)$

$= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (3 - 3r + \sqrt{1 - r^2} - 6r\sqrt{1 - r^2} + 2r^2\sqrt{1 - r^2} + 2r^3)$

$= \pi (\frac{4}{3} + \frac{2}{3} r^3 - 1 + r - \frac{1}{3}\sqrt{1 - r^2} + 2r\sqrt{1 - r^2} - \frac{2}{3}r^2\sqrt{1 - r^2} - \frac{2}{3} r^3)$

$= \pi (\frac{1}{3} + r - \frac{1}{3}\sqrt{1 - r^2} + 2r\sqrt{1 - r^2} - \frac{2}{3}r^2\sqrt{1 - r^2})$

体積が最大となる条件を探すため、$V(r)$を$r$で微分する。

$V'(r) = \pi (1 + \frac{1}{3} \frac{2r}{2\sqrt{1 - r^2}} + 2\sqrt{1 - r^2} + 2r \frac{-2r}{2\sqrt{1 - r^2}} - \frac{4}{3}r\sqrt{1 - r^2} - \frac{2}{3}r^2 \frac{-2r}{2\sqrt{1 - r^2}}) = 0$

$1 + \frac{r}{3\sqrt{1 - r^2}} + 2\sqrt{1 - r^2} - \frac{2r^2}{2\sqrt{1 - r^2}} - \frac{4r}{3}\sqrt{1 - r^2} + \frac{2r^3}{3\sqrt{1 - r^2}} = 0$

$V'(r)$を計算すると、極値を持つのは$r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$。このとき、$r^2 + r - 1 = 0$

あるいは、別の方法として、$x = \sqrt{1-r^2}$ とおき、球Aからはみ出している半球面Bの体積を計算する方法もある。球Aからはみ出している部分は、球の中心から$x$の高さの球を球Aの中心から$x$の高さで切った時の上側の体積を考えると、求める立体の体積$V$は、

$V = \frac{4}{3}\pi(1^3) + \frac{2}{3} \pi r^3 - \frac{\pi (1-r^2) (2+r)}{3}$

$V = \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{\pi (1-r^2)(2+r)}{3}$

$V = \frac{\pi}{3}(4 + 2r^3 - 2 - r + 2r^2 + r^3)$

$V = \frac{\pi}{3}(3r^3 + 2r^2 - r + 2)$

$\frac{dV}{dr} = \frac{\pi}{3} (9r^2 + 4r - 1)$

$9r^2 + 4r - 1 = 0$

$r = \frac{-4 \pm \sqrt{16+36}}{18} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{9}$

$0 < r < 1$より、$r = \frac{-2 + \sqrt{13}}{9}$

3. 最終的な答え

$r = \frac{-2 + \sqrt{13}}{9}$