SENSEI AI
About App

半径1の球Aに、半径$r$（$0 < r < 1$）の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となる$r$の値を求めよ。

解析学体積最大値微分球積分
2025/3/25

1. 問題の内容

半径1の球Aに、半径rr（0<r<10 < r < 1）の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となるrrの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、立体の体積をrrの関数として表す。
球Aの体積は 43π(1)3=43π\frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi。
半球面Bの体積は 12×43πr3=23πr3\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3。
ここで、半球面Bが球Aとかぶさっている部分の体積を引く必要がある。かぶさっている部分は、球Aから切り取られた球冠である。
球冠の高さをhhとすると、h=r−1−r2h = r - \sqrt{1 - r^2}。
球冠の体積は 13πh2(3−h)\frac{1}{3}\pi h^2 (3 - h)。
したがって、立体の体積V(r)V(r)は、
V(r)=43π+23πr3−13πh2(3−h)V(r) = \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi h^2 (3 - h)
=43π+23πr3−13π(r−1−r2)2(3−(r−1−r2))= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (r - \sqrt{1 - r^2})^2 (3 - (r - \sqrt{1 - r^2}))
=43π+23πr3−13π(r2−2r1−r2+1−r2)(3−r+1−r2)= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (r^2 - 2r\sqrt{1 - r^2} + 1 - r^2)(3 - r + \sqrt{1 - r^2})
=43π+23πr3−13π(1−2r1−r2)(3−r+1−r2)= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (1 - 2r\sqrt{1 - r^2})(3 - r + \sqrt{1 - r^2})
=43π+23πr3−13π(3−r+1−r2−6r1−r2+2r21−r2−2r(1−r2))= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (3 - r + \sqrt{1 - r^2} - 6r\sqrt{1 - r^2} + 2r^2\sqrt{1 - r^2} - 2r(1 - r^2))
=43π+23πr3−13π(3−r+1−r2−6r1−r2+2r21−r2−2r+2r3)= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (3 - r + \sqrt{1 - r^2} - 6r\sqrt{1 - r^2} + 2r^2\sqrt{1 - r^2} - 2r + 2r^3)
=43π+23πr3−13π(3−3r+1−r2−6r1−r2+2r21−r2+2r3)= \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{1}{3}\pi (3 - 3r + \sqrt{1 - r^2} - 6r\sqrt{1 - r^2} + 2r^2\sqrt{1 - r^2} + 2r^3)
=π(43+23r3−1+r−131−r2+2r1−r2−23r21−r2−23r3)= \pi (\frac{4}{3} + \frac{2}{3} r^3 - 1 + r - \frac{1}{3}\sqrt{1 - r^2} + 2r\sqrt{1 - r^2} - \frac{2}{3}r^2\sqrt{1 - r^2} - \frac{2}{3} r^3)
=π(13+r−131−r2+2r1−r2−23r21−r2)= \pi (\frac{1}{3} + r - \frac{1}{3}\sqrt{1 - r^2} + 2r\sqrt{1 - r^2} - \frac{2}{3}r^2\sqrt{1 - r^2})
体積が最大となる条件を探すため、V(r)V(r)をrrで微分する。
V′(r)=π(1+132r21−r2+21−r2+2r−2r21−r2−43r1−r2−23r2−2r21−r2)=0V'(r) = \pi (1 + \frac{1}{3} \frac{2r}{2\sqrt{1 - r^2}} + 2\sqrt{1 - r^2} + 2r \frac{-2r}{2\sqrt{1 - r^2}} - \frac{4}{3}r\sqrt{1 - r^2} - \frac{2}{3}r^2 \frac{-2r}{2\sqrt{1 - r^2}}) = 0
1+r31−r2+21−r2−2r221−r2−4r31−r2+2r331−r2=01 + \frac{r}{3\sqrt{1 - r^2}} + 2\sqrt{1 - r^2} - \frac{2r^2}{2\sqrt{1 - r^2}} - \frac{4r}{3}\sqrt{1 - r^2} + \frac{2r^3}{3\sqrt{1 - r^2}} = 0
V′(r)V'(r)を計算すると、極値を持つのはr=5−12r = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}。このとき、r2+r−1=0r^2 + r - 1 = 0
あるいは、別の方法として、x=1−r2x = \sqrt{1-r^2} とおき、球Aからはみ出している半球面Bの体積を計算する方法もある。球Aからはみ出している部分は、球の中心からxxの高さの球を球Aの中心からxxの高さで切った時の上側の体積を考えると、求める立体の体積VVは、
V=43π(13)+23πr3−π(1−r2)(2+r)3V = \frac{4}{3}\pi(1^3) + \frac{2}{3} \pi r^3 - \frac{\pi (1-r^2) (2+r)}{3}
V=43π+23πr3−π(1−r2)(2+r)3V = \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \frac{\pi (1-r^2)(2+r)}{3}
V=π3(4+2r3−2−r+2r2+r3)V = \frac{\pi}{3}(4 + 2r^3 - 2 - r + 2r^2 + r^3)
V=π3(3r3+2r2−r+2)V = \frac{\pi}{3}(3r^3 + 2r^2 - r + 2)
dVdr=π3(9r2+4r−1)\frac{dV}{dr} = \frac{\pi}{3} (9r^2 + 4r - 1)
9r2+4r−1=09r^2 + 4r - 1 = 0
r=−4±16+3618=−2±139r = \frac{-4 \pm \sqrt{16+36}}{18} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{9}
0<r<10 < r < 1より、r=−2+139r = \frac{-2 + \sqrt{13}}{9}

3. 最終的な答え

r=−2+139r = \frac{-2 + \sqrt{13}}{9}

「解析学」の関連問題

(1) $yz + zx + xy = 1$ で定まる陰関数 $z = z(x, y)$ について、$(x, y) = (3, 1)$ での $\frac{\partial^2 z}{\partial...

陰関数偏微分二階偏導関数
2025/7/12

与えられた4つの関数 a, b, c, d をそれぞれ微分する問題です。 a) $(2x+1)^2$ b) $(x-1)^2(x+1)^2$ c) $(x - \frac{1}{x})^2$ d) $...

微分関数の微分商の微分法
2025/7/12

自然数全体の集合 $\mathbb{N}$ のベキ集合 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ が実数全体の集合 $\mathbb{R}$ と対等であることを示す問題です。つまり、全単射 ...

集合論ベキ集合対等全単射濃度Bernsteinの定理
2025/7/12

(1) 陰関数 $yz + zx + xy = 1$ について、$(x, y) = (3, 1)$ での $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ および $\frac{...

偏微分陰関数二階偏導関数
2025/7/12

(1) 陰関数 $yz + zx + xy = 1$ について、$(x, y) = (3, 1)$ での $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$ と $\frac{\p...

偏微分陰関数二階偏導関数
2025/7/12

領域 $D_5$ と $D_6$ に対して、二重積分 $\iint_{D_i} 1 \, dxdy$ の値を求める問題です。ここで、 $D_5 = \{(x, y) \mid y = x + 1, y...

二重積分積分領域積分範囲
2025/7/12

関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ について、$x = 2$ における微分係数 $f'(2)$ を、微分係数の定義に従って求める。

微分微分係数関数の微分極限
2025/7/12

関数 $f(x) = x^2 + 2x + 3$ において、$x$ が1から4まで変化するときの平均変化率を求めます。

平均変化率関数二次関数
2025/7/12

関数 $f(x) = x^2 - 5$ について、$x$ の値が -1 から 1 まで変化するときの平均変化率を求める。

平均変化率関数二次関数
2025/7/12

2つの関数 $y = \log_3 x$ と $y = \log_3 \frac{1}{x}$ のグラフの関係を選ぶ問題です。

対数関数グラフ対称移動関数の性質
2025/7/12