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1. 問題の内容
底面の半径が8cm、高さが12cmの円錐Pを、底面に平行な面で切断し、円錐Qと、PからQを取り除いた立体Aに分ける。円錐PとQの高さの比が4:3であるとき、立体Aの体積を求める。
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2. 解き方の手順
1. 円錐Qの高さを求める。円錐PとQの高さの比が4:3で、円錐Pの高さが12cmなので、円錐Qの高さは $12 \times \frac{3}{4} = 9$ cm。
2. 円錐Qの底面の半径を求める。円錐PとQは相似であり、高さの比が4:3なので、底面の半径の比も4:3となる。円錐Pの底面の半径が8cmなので、円錐Qの底面の半径は $8 \times \frac{3}{4} = 6$ cm。
3. 円錐Pの体積を求める。円錐の体積は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で計算される。ここで、$r$は底面の半径、$h$は高さである。円錐Pの場合、$r = 8$ cm、$h = 12$ cmなので、
V_P = \frac{1}{3} \pi (8^2) (12) = \frac{1}{3} \pi (64)(12) = 256\pi \text{ cm}^3
4. 円錐Qの体積を求める。円錐Qの場合、$r = 6$ cm、$h = 9$ cmなので、
V_Q = \frac{1}{3} \pi (6^2) (9) = \frac{1}{3} \pi (36)(9) = 108\pi \text{ cm}^3
5. 立体Aの体積を求める。立体Aの体積は、円錐Pの体積から円錐Qの体積を引いたものになる。
V_A = V_P - V_Q = 256\pi - 108\pi = 148\pi \text{ cm}^3
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3. 最終的な答え
立体Aの体積は cm。