問題は、次の式の二重根号を外して簡単にすることです。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$　（これは画像に回答が書かれていますが、再度解きます。） (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

問題は、次の式の二重根号を外して簡単にすることです。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$　（これは画像に回答が書かれていますが、再度解きます。）

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ を解く

二重根号を外すためには、根号の中身を $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ の形に変形する必要があります。

つまり、$7+2\sqrt{10} = a+b+2\sqrt{ab}$となるような$a$と$b$を見つけます。

$a+b = 7$ かつ $ab = 10$を満たす必要があります。

$a=5$、$b=2$ がこの条件を満たします。

したがって、

$7+2\sqrt{10} = 5+2+2\sqrt{5\times2} = (\sqrt{5}+\sqrt{2})^2$

$\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を解く

まず、$6\sqrt{3}$を$2\sqrt{...}$の形にします。$6\sqrt{3}=2\times3\sqrt{3}=2\sqrt{9\times3}=2\sqrt{27}$

よって、$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$

二重根号を外すためには、根号の中身を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形に変形する必要があります。

つまり、$12-2\sqrt{27} = a+b-2\sqrt{ab}$となるような$a$と$b$を見つけます。

$a+b = 12$ かつ $ab = 27$を満たす必要があります。

$a=9$、$b=3$ がこの条件を満たします。

したがって、

$12-2\sqrt{27} = 9+3-2\sqrt{9\times3} = (\sqrt{9}-\sqrt{3})^2 = (3-\sqrt{3})^2$

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

(2) $3 - \sqrt{3}$