$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a+2) = 0$ と $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$ がただ1つの共通解を持つとき、その共通解と $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a+2) = 0$ と $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$ がただ1つの共通解を持つとき、その共通解と $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの式に共通解 $\alpha$ が存在すると仮定する。すると、以下の式が成り立つ。

$2\alpha^2 - a\alpha - (2a+2) = 0$ (1)

$\alpha^2 - (a+2)\alpha + (a+7) = 0$ (2)

(2)を2倍して(1)から引くと、$\alpha$ に関する1次方程式が得られる。

$2 \times (2)$ より、

$2\alpha^2 - 2(a+2)\alpha + 2(a+7) = 0$

$2\alpha^2 - 2a\alpha - 4\alpha + 2a + 14 = 0$

(1)からこれを引くと

$(2\alpha^2 - a\alpha - (2a+2)) - (2\alpha^2 - 2a\alpha - 4\alpha + 2a + 14) = 0$

$a\alpha + 4\alpha - 4a - 16 = 0$

$(a+4)\alpha - 4(a+4) = 0$

$(a+4)(\alpha - 4) = 0$

したがって、$a = -4$ または $\alpha = 4$ である。

(i) $a = -4$ のとき

与えられた2つの式は

$2x^2 + 4x - (-8+2) = 0 \Rightarrow 2x^2 + 4x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x + 3 = 0$

$x^2 - (-4+2)x + (-4+7) = 0 \Rightarrow x^2 + 2x + 3 = 0$

このとき2つの式は一致し、共通解は2つになるため、問題の条件に合わない。

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

(ii) $\alpha = 4$ のとき

$\alpha = 4$ を (2) に代入すると

$4^2 - (a+2)4 + (a+7) = 0$

$16 - 4a - 8 + a + 7 = 0$

$-3a + 15 = 0$

$3a = 15$

$a = 5$

$a=5$ のとき、与えられた2つの式は

$2x^2 - 5x - (10+2) = 0 \Rightarrow 2x^2 - 5x - 12 = 0$

$x^2 - (5+2)x + (5+7) = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 = 0$

$2x^2 - 5x - 12 = (2x+3)(x-4) = 0 \Rightarrow x = 4, -\frac{3}{2}$

$x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4) = 0 \Rightarrow x = 4, 3$

よって、共通解は $x = 4$ のみである。

3. 最終的な答え

共通解は $4$ であり、$a = 5$ である。