与えられた3x3の行列式の値を求める問題です。行列式は次の通りです。 $\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3x3の行列式の値を求める問題です。行列式は次の通りです。

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式の性質を利用して計算を簡単にします。

行列式は、各列を2つの項の和として分解できます。

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a & a \\ b & b & b \\ c & c & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & a & z \\ b & b & z \\ c & c & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & y & a \\ b & y & b \\ c & y & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & y & z \\ b & y & z \\ c & y & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & a & a \\ x & b & b \\ x & c & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & a & z \\ x & b & z \\ x & c & z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & a \\ x & y & b \\ x & y & c \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & y & z \\ x & y & z \\ x & y & z \end{vmatrix}$

しかし、これは計算が大変です。

別の方法として、列の性質を利用します。第1列から第2列を引き、第2列から第3列を引きます。

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x-y & y-z & a+z \\ x-y & y-z & b+z \\ x-y & y-z & c+z \end{vmatrix}$

次に、第1列をx-yで、第2列をy-zでくくりだします。

$\begin{vmatrix} x-y & y-z & a+z \\ x-y & y-z & b+z \\ x-y & y-z & c+z \end{vmatrix} = (x-y)(y-z)\begin{vmatrix} 1 & 1 & a+z \\ 1 & 1 & b+z \\ 1 & 1 & c+z \end{vmatrix}$

ここで、2つの列が同じなので行列式の値は0になります。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & a+z \\ 1 & 1 & b+z \\ 1 & 1 & c+z \end{vmatrix} = 0$

したがって、

$\begin{vmatrix} a+x & a+y & a+z \\ b+x & b+y & b+z \\ c+x & c+y & c+z \end{vmatrix} = (x-y)(y-z) \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

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