与えられた正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 3 & 5 & -7 \\ -1 & 0 & -5 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を、行列の簡約化(行基本変形)を用いて求める。

1. 問題の内容

与えられた正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 3 & 5 & -7 \\ -1 & 0 & -5 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を、行列の簡約化(行基本変形)を用いて求める。

2. 解き方の手順

与えられた行列 $A$ に単位行列 $I$ を並べた拡大行列を作り、行基本変形を行って $A$ を単位行列に変換する。このとき、同じ行基本変形を単位行列 $I$ にも行うと、最終的に $I$ が $A^{-1}$ に変換される。

まず、拡大行列を作る。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & | & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 5 & -7 & | & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -5 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(1) 2行目を「2行目 - 3 * 1行目」で置き換える。（$R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & | & -3 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -5 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(2) 3行目を「3行目 + 1行目」で置き換える。（$R_3 \leftarrow R_3 + R_1$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 5 & | & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -9 & | & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 2行目を「-1 * 2行目」で置き換える。（$R_2 \leftarrow -R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & | & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -9 & | & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 1行目を「1行目 - 2 * 2行目」で置き換える。（$R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 & | & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & | & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -9 & | & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(5) 3行目を「3行目 - 2 * 2行目」で置き換える。（$R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 6 & | & -5 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & | & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(6) 1行目を「1行目 - 6 * 3行目」で置き換える。（$R_1 \leftarrow R_1 - 6R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 25 & -10 & -6 \\ 0 & 1 & -5 & | & 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

(7) 2行目を「2行目 + 5 * 3行目」で置き換える。（$R_2 \leftarrow R_2 + 5R_3$)

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 25 & -10 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & | & -22 & 9 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & | & -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 25 & -10 & -6 \\ -22 & 9 & 5 \\ -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}$