$(3x - 2)^6$ の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

$(3x - 2)^6$ の展開式における $x^2$ と $x^3$ の項の係数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。二項定理により、$(a+b)^n$ の展開式は次のようになる。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$

与えられた式 $(3x - 2)^6$ において、$a = 3x$、$b = -2$、$n = 6$ である。

$x^2$ の項を求めるためには、$n-k = 2$ となる $k$ を探す。すなわち、$6-k = 2$ より、$k = 4$ である。

したがって、$x^2$ の項は

${}_6 C_4 (3x)^2 (-2)^4 = \frac{6!}{4!2!} \cdot 9x^2 \cdot 16 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 9 \cdot 16 x^2 = 15 \cdot 9 \cdot 16 x^2 = 2160x^2$

$x^3$ の項を求めるためには、$n-k = 3$ となる $k$ を探す。すなわち、$6-k = 3$ より、$k = 3$ である。

したがって、$x^3$ の項は

${}_6 C_3 (3x)^3 (-2)^3 = \frac{6!}{3!3!} \cdot 27x^3 \cdot (-8) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 27 \cdot (-8) x^3 = 20 \cdot 27 \cdot (-8) x^3 = -4320x^3$

3. 最終的な答え

$x^2$ の項の係数は $2160$

$x^3$ の項の係数は $-4320$