全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と $B = \{2, 4, 6, 8\}$ が与えられています。以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $\overline{A} \cup B$ (5) $\overline{A} \cup \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$ と $B = \{2, 4, 6, 8\}$ が与えられています。以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $\overline{A} \cup B$

(5) $\overline{A} \cup \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ (Aの補集合) は、全体集合 $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合です。

$A = \{1, 2, 3\}$ なので、$\overline{A} = \{4, 5, 6, 7, 8\}$ となります。

(2) $\overline{B}$ (Bの補集合) は、全体集合 $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合です。

$B = \{2, 4, 6, 8\}$ なので、$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7\}$ となります。

(3) $A \cup B$ (AとBの和集合) は、$A$ と $B$ の要素をすべて含んだ集合です。

$A = \{1, 2, 3\}$ と $B = \{2, 4, 6, 8\}$ なので、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$ となります。

$\overline{A \cup B}$ (A∪Bの補集合) は、全体集合 $U$ の中で $A \cup B$ に含まれない要素の集合です。

$\overline{A \cup B} = \{5, 7\}$ となります。

(4) $\overline{A} \cup B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の和集合です。

$\overline{A} = \{4, 5, 6, 7, 8\}$ と $B = \{2, 4, 6, 8\}$ なので、$\overline{A} \cup B = \{2, 4, 5, 6, 7, 8\}$ となります。

(5) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の和集合です。

$\overline{A} = \{4, 5, 6, 7, 8\}$ と $\overline{B} = \{1, 3, 5, 7\}$ なので、$\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{4, 5, 6, 7, 8\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 3, 5, 7\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{5, 7\}$

(4) $\overline{A} \cup B = \{2, 4, 5, 6, 7, 8\}$

(5) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$