与えられた式 $x^2 - ax - 6x + 3a + 9$ を因数分解せよ、という問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - ax - 6x + 3a + 9$ を因数分解せよ、という問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$x$の項と定数項をそれぞれまとめると、

$x^2 - (a+6)x + (3a+9)$

となります。

この式が因数分解できると仮定すると、$(x+p)(x+q)$の形になると考えられます。展開すると、

$x^2 + (p+q)x + pq$

となります。

したがって、

$p+q = -(a+6)$

$pq = 3a+9$

が成り立ちます。

$pq = 3a+9$より、$a = \frac{pq-9}{3}$が得られます。これを$p+q = -(a+6)$に代入すると、

$p+q = -(\frac{pq-9}{3}+6)$

$p+q = -\frac{pq-9+18}{3}$

$p+q = -\frac{pq+9}{3}$

$3(p+q) = -pq - 9$

$3p + 3q = -pq - 9$

$3p + 3q + pq + 9 = 0$

$p(q+3) + 3q + 9 = 0$

$p(q+3) + 3(q+3) = 0$

$(p+3)(q+3) = 0$

したがって、$p = -3$または$q = -3$です。

$p = -3$の場合、$pq = -3q = 3a+9$より、$a = -q - 3$となります。

このとき、$x^2 - (a+6)x + (3a+9) = x^2 - (-q - 3 + 6)x + 3(-q - 3) + 9 = x^2 - (-q + 3)x -3q - 9 + 9 = x^2 + (q - 3)x - 3q$

これは$(x-3)(x+q)$と因数分解できます。

$q = -3$の場合、$pq = -3p = 3a+9$より、$a = -p - 3$となります。

このとき、$x^2 - (a+6)x + (3a+9) = x^2 - (-p - 3 + 6)x + 3(-p - 3) + 9 = x^2 - (-p + 3)x -3p - 9 + 9 = x^2 + (p - 3)x - 3p$

これは$(x-3)(x+p)$と因数分解できます。

いずれの場合でも、$x^2 - (a+6)x + (3a+9) = (x-3)(x+p)$の形になるとわかります。

ここで、$p+q = -(a+6)$、$pq = 3a+9$に立ち返ると、$p=-3$のとき$q=a+3$なので、$(x-3)(x+a+3)$.

$q=-3$のとき$p=a+3$なので、$(x-3)(x+a+3)$.

したがって、与式は$(x-3)(x-a-3) = x^2 - ax - 6x + 3a+9$

$x^2 -(a+6)x+3(a+3)=0$

$x^2 -(a+6)x+3(a+3)= (x+r)(x+s) = x^2 +(r+s)x +rs$

$r+s= -(a+6)$

$rs = 3(a+3)$

$x^2 -(a+6)x+3a+9 = (x-3)(x-a-3)$.

3. 最終的な答え

$(x-3)(x-a-3)$