図のような道があるとき、点Aから点Cへ行く最短経路は何通りあるか。

1. 問題の内容

図のような道があるとき、点Aから点Cへ行く最短経路は何通りあるか。

2. 解き方の手順

点Aから点Cへ行くためには、右へ2回、下へ3回移動する必要がある。

これは、合計5回の移動のうち、どの2回を右への移動にするか（またはどの3回を下への移動にするか）を選ぶことに相当する。

したがって、最短経路の数は、5回の移動から2回選んで右方向へ移動する場合の数、つまり組み合わせ $_5C_2$で計算できる。

同様に、5回の移動から3回選んで下方向へ移動する場合の数、つまり組み合わせ $_5C_3$で計算することもできる。どちらで計算しても結果は同じになる。

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

3. 最終的な答え

10通り