全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、 $n(U) = 60$, $n(A) = 30$, $n(B) = 16$, $n(A \cap B) = 9$ であるとき、次の個数を求めよ。 (1) $n(A \cup B)$ (2) $n(\overline{A})$ (3) $n(\overline{B})$ (4) $n(\overline{A \cup B})$ (5) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$ (6) $n(\overline{A \cap B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、

$n(U) = 60$, $n(A) = 30$, $n(B) = 16$, $n(A \cap B) = 9$ であるとき、次の個数を求めよ。

(1) $n(A \cup B)$

(2) $n(\overline{A})$

(3) $n(\overline{B})$

(4) $n(\overline{A \cup B})$

(5) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$

(6) $n(\overline{A \cap B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(A \cup B)$ を求める。

和集合の公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を用いる。

$n(A \cup B) = 30 + 16 - 9 = 37$

(2) $n(\overline{A})$ を求める。

補集合の公式 $n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$ を用いる。

$n(\overline{A}) = 60 - 30 = 30$

(3) $n(\overline{B})$ を求める。

補集合の公式 $n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$ を用いる。

$n(\overline{B}) = 60 - 16 = 44$

(4) $n(\overline{A \cup B})$ を求める。

ド・モルガンの法則 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ より、

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ を用いる。

$n(\overline{A \cup B}) = 60 - 37 = 23$

(5) $n(\overline{A} \cup \overline{B})$ を求める。

ド・モルガンの法則 $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ より、

$n(\overline{A} \cup \overline{B}) = n(\overline{A \cap B})$ となる。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B) = 60 - 9 = 51$

(6) $n(\overline{A \cap B})$ を求める。

補集合の公式 $n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$ を用いる。

$n(\overline{A \cap B}) = 60 - 9 = 51$

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cup B) = 37$

(2) $n(\overline{A}) = 30$

(3) $n(\overline{B}) = 44$

(4) $n(\overline{A \cup B}) = 23$

(5) $n(\overline{A} \cup \overline{B}) = 51$

(6) $n(\overline{A \cap B}) = 51$