一辺の長さが1の正四面体OABCがある。三角形OABの重心をGとする。動点Pが $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = 2|\overrightarrow{OP}|^2$ を満たしながら動くとき、$|\overrightarrow{PG}|$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCがある。三角形OABの重心をGとする。動点Pが $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = 2|\overrightarrow{OP}|^2$ を満たしながら動くとき、$|\overrightarrow{PG}|$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}, \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{p}$とおく。

重心Gについて $\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{3}$ である。

条件式 $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = 2|\overrightarrow{OP}|^2$ は

$\overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = 2|\overrightarrow{p}|^2$ と書き換えられる。

これを変形すると $2|\overrightarrow{p}|^2 - \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = 0$

$2(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p} - \frac{1}{2} \overrightarrow{p} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})) = 0$

$|\overrightarrow{p} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})|^2 - |\frac{1}{4}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})|^2 = 0$

$|\overrightarrow{p} - \frac{1}{4}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})|^2 = |\frac{1}{4}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})|^2$

よって、点Pは点 $K = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ を中心とする半径 $r = |\frac{1}{4}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})|$ の球面上を動く。

$\overrightarrow{OK} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$ である。

$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = 1$, $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC} \cdot \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}$ であるから、

$|\overrightarrow{OK}|^2 = \frac{1}{16}|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}|^2 = \frac{1}{16}(|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} + 2\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a})$

$= \frac{1}{16}(1 + 1 + 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{16}(3+3) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

よって $|\overrightarrow{OK}| = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$r = \sqrt{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$|\overrightarrow{PG}| = |\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OP}| = |\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OG}|$

$|\overrightarrow{PG}|$ の最大値は $|\overrightarrow{KG}| + r$ で、最小値は $||\overrightarrow{KG}| - r|$

$\overrightarrow{KG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OK} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}}{3} - \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{4} = \frac{4(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) - 3(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})}{12} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}}{12}$

$|\overrightarrow{KG}|^2 = \frac{1}{144}|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - 3\overrightarrow{c}|^2 = \frac{1}{144}(|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 9|\overrightarrow{c}|^2 + 2\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - 6\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} - 6\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})$

$= \frac{1}{144}(1 + 1 + 9 + 2 \cdot \frac{1}{2} - 6 \cdot \frac{1}{2} - 6 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{144}(11 + 1 - 3 - 3) = \frac{6}{144} = \frac{1}{24}$

$|\overrightarrow{KG}| = \frac{1}{\sqrt{24}} = \frac{\sqrt{6}}{12}$

最大値: $\frac{\sqrt{6}}{12} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6} + 3\sqrt{6}}{12} = \frac{4\sqrt{6}}{12} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

最小値: $|\frac{\sqrt{6}}{12} - \frac{\sqrt{6}}{4}| = |\frac{\sqrt{6} - 3\sqrt{6}}{12}| = |\frac{-2\sqrt{6}}{12}| = \frac{\sqrt{6}}{6}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

最小値: $\frac{\sqrt{6}}{6}$