問題は以下の3つです。 * 問題1：$a=8$, $A=45^\circ$, $C=30^\circ$のとき、$\triangle ABC$の残りの辺の長さと角の大きさを求める。 * 問題3：$a=3$, $b=5$, $c=6$である$\triangle ABC$において、最も大きい角の余弦を求める。 * 問題4：$\triangle ABC$において、$\sin A : \sin B : \sin C = 3:5:7$が成り立つとき、この三角形の最も大きい角を求める。

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

* 問題1：$a=8$, $A=45^\circ$, $C=30^\circ$のとき、$\triangle ABC$の残りの辺の長さと角の大きさを求める。

* 問題3：$a=3$, $b=5$, $c=6$である$\triangle ABC$において、最も大きい角の余弦を求める。

* 問題4：$\triangle ABC$において、$\sin A : \sin B : \sin C = 3:5:7$が成り立つとき、この三角形の最も大きい角を求める。

2. 解き方の手順

* 問題1：

* 三角形の内角の和は$180^\circ$であるから、$B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$。

* 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$なので、

$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{8 \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4\sqrt{2}$。

* 同様に、正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$なので、

$b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{8 \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \sin(60^\circ+45^\circ)}{\sin 45^\circ} = \frac{8 (\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ)}{\sin 45^\circ}= \frac{8(\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{2}})}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 4\sqrt{3}+4$。

* 問題3：

* 最も大きい角は、最も長い辺の対角であるから、角Cが最も大きい角である。

* 余弦定理より、$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 36}{30} = \frac{-2}{30} = -\frac{1}{15}$。

* 問題4：

* 正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$なので、$a:b:c = 3:5:7$。

* $a=3k$, $b=5k$, $c=7k$と表すことができる。

* 最も大きい角は、最も長い辺の対角であるから、角Cが最も大きい角である。

* 余弦定理より、$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{(3k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{2 \cdot 3k \cdot 5k} = \frac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{30k^2} = \frac{-15k^2}{30k^2} = -\frac{1}{2}$。

* $\cos C = -\frac{1}{2}$より、$C = 120^\circ$。

3. 最終的な答え

* 問題1：$B = 105^\circ$, $c = 4\sqrt{2}$, $b = 4\sqrt{3}+4$。

* 問題3：$\cos C = -\frac{1}{15}$。

* 問題4：$C = 120^\circ$。