実数 $a$ を変数とする。3辺の長さがそれぞれ $a-1$, $a$, $a+1$ となる三角形が存在する条件、その三角形が鈍角三角形となる $a$ の範囲、一つの内角が $120^\circ$ となるときの $a$ の値、そしてその時の外接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $a$ を変数とする。3辺の長さがそれぞれ $a-1$, $a$, $a+1$ となる三角形が存在する条件、その三角形が鈍角三角形となる $a$ の範囲、一つの内角が $120^\circ$ となるときの $a$ の値、そしてその時の外接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 三角形が存在する条件

三角形の成立条件より、任意の2辺の和が残りの1辺より大きくなる必要がある。

$a-1 > 0$ は前提条件である。

* $(a-1) + a > a+1$

* $(a-1) + (a+1) > a$

* $a + (a+1) > a-1$

一つ目の不等式を解くと:

$2a - 1 > a + 1$

$a > 2$

二つ目の不等式を解くと:

$2a > a$

$a > 0$

三つ目の不等式を解くと:

$2a + 1 > a - 1$

$a > -2$

また、$a-1>0$ である必要があるので、$a>1$ 。

したがって、$a > 2$ 。

(2) 鈍角三角形となる条件

$(a+1)^2 > a^2 + (a-1)^2$

$a^2 + 2a + 1 > a^2 + a^2 - 2a + 1$

$a^2 - 4a < 0$

$a(a-4) < 0$

$0 < a < 4$

(1)より、$a > 2$ なので、$2 < a < 4$

(3) 一つの内角が $120^\circ$ のとき

余弦定理より、$(a+1)^2 = a^2 + (a-1)^2 - 2a(a-1)\cos(120^\circ)$

$(a+1)^2 = a^2 + (a-1)^2 + a(a-1)$

$a^2 + 2a + 1 = a^2 + a^2 - 2a + 1 + a^2 - a$

$a^2 + 2a + 1 = 2a^2 - 3a + 1 + a^2 - a$

$2a^2 - 5a = 0$

$a(2a - 5) = 0$

$a = 0$ または $a = \frac{5}{2}$

$a > 2$ より、$a = \frac{5}{2}$

(4) 外接円の半径

正弦定理より、$\frac{a+1}{\sin(120^\circ)} = 2R$

$\frac{\frac{5}{2} + 1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{7}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{7}{2\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{6}$

3. 最終的な答え

ア: $a > 2$

イ: $2 < a < 4$

ウ: $a = \frac{5}{2}$

エ: $R = \frac{7\sqrt{3}}{6}$