三角形ABCにおいて、$AB = 6$, $BC = 5$, $CA = 4$である。$\angle C$の二等分線と$AB$の交点をD、$ \angle B$の二等分線と$CD$の交点をIとする。さらに、Iを通り$BC$に平行な直線と$AB$の交点をEとする。 (1) $BD$の長さを求めよ。 (2) $IE$の長さを求めよ。 (3) $\triangle DIE$の面積は$\triangle ABC$の面積の何倍であるか。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 6$, $BC = 5$, $CA = 4$である。$\angle C$の二等分線と$AB$の交点をD、$\angle B$の二等分線と$CD$の交点をIとする。さらに、Iを通り$BC$に平行な直線と$AB$の交点をEとする。

(1) $BD$の長さを求めよ。

(2) $IE$の長さを求めよ。

(3) $\triangle DIE$の面積は$\triangle ABC$の面積の何倍であるか。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$AD:DB = AC:BC = 4:5$である。

$AB = 6$なので、$BD = \frac{5}{4+5} \times 6 = \frac{5}{9} \times 6 = \frac{10}{3}$

(2) Iは$\triangle ABC$の内心であるから、$BI$は$\angle B$の二等分線である。

$IE$と$BC$は平行なので、$\angle EIB = \angle IBC$ (錯角)。

よって、$\angle EBI = \angle EIB$となり、$\triangle EBI$は$EB = EI$の二等辺三角形である。

$AE:EB = AI:IC$であるが、このままでは計算できない。

まず、$AD = AB - BD = 6 - \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$

$\triangle ADC$において、$BI$は$\angle B$の二等分線なので、$AI:IC = AB:BC = 6:5$

ゆえに、$AE = AB - EB = 6 - EI$となる。

$EB = EI$なので、$EI = x$とすると、$AE = 6 - x$となる。

ここで、$EI$//$BC$なので、$\triangle AEI \sim \triangle ABC$ではない。

$AE:AB = AI:AC$ではない。

$\triangle EBI$は二等辺三角形であり、$EB = EI$である。

また、$EI // BC$であるから、$AE:AB = \frac{AE}{AB}$なので、$AE:AB = AI:AC$は使えない。

$\triangle ADC$において、$BI$は$\angle B$の二等分線なので、$DI:IC = BD:BC = \frac{10}{3}:5 = 10:15 = 2:3$

したがって、$DI = \frac{2}{5} CD$

$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2 - 2AC \cdot AD \cos A}$

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{36 + 16 - 25}{2 \cdot 6 \cdot 4} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$

$CD^2 = 16 + \frac{64}{9} - 2 \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{16} = 16 + \frac{64}{9} - 12 = 4 + \frac{64}{9} = \frac{36+64}{9} = \frac{100}{9}$

$CD = \frac{10}{3}$

$DI = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{4}{3}$

$EI:BC = AD:AB$ではない。

$EI:BC = AE:AB$

$AE = AB - EB = AB - EI = 6 - EI$

$EI:5 = (6 - EI):6$

$6EI = 5(6 - EI) = 30 - 5EI$

$11EI = 30$

$EI = \frac{30}{11}$

(3) $\triangle DIE$の面積を求める。

$S_{\triangle DIE} = \frac{1}{2} \times DI \times IE \times \sin \angle DIE$

$\angle DIE = \angle BCD$

$AE = 6 - \frac{30}{11} = \frac{66 - 30}{11} = \frac{36}{11}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ ただし、$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+5+4}{2} = \frac{15}{2}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-6)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-4)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2}} = \frac{1}{4} \sqrt{15 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{1}{4} \sqrt{1575} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{10}{3}$

(2) $\frac{30}{11}$

(3) $\frac{7}{110}$