ある県の高校生の100点満点の試験の成績は平均60点、標準偏差20点である。この母集団から無作為に50名の標本を抽出したとき、その平均点が65点以上70点以下である確率を小数点以下第4位まで求める。

1. 問題の内容

ある県の高校生の100点満点の試験の成績は平均60点、標準偏差20点である。この母集団から無作為に50名の標本を抽出したとき、その平均点が65点以上70点以下である確率を小数点以下第4位まで求める。

2. 解き方の手順

まず、標本平均の分布を考える。母集団の平均を$\mu$、標準偏差を$\sigma$、標本サイズを$n$とすると、標本平均$\bar{X}$の分布は近似的に正規分布$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$に従う。

この問題では、$\mu = 60$, $\sigma = 20$, $n = 50$であるから、標本平均$\bar{X}$は近似的に正規分布$N(60, \frac{20^2}{50}) = N(60, 8)$に従う。

$\bar{X}$を標準化するために、$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$を計算する。この$Z$は標準正規分布$N(0, 1)$に従う。

$\bar{X}$が65以上70以下である確率は、$P(65 \le \bar{X} \le 70)$で表される。これを標準化した$Z$で表すと、

$P(\frac{65 - 60}{20 / \sqrt{50}} \le Z \le \frac{70 - 60}{20 / \sqrt{50}})$

$P(\frac{5}{20 / \sqrt{50}} \le Z \le \frac{10}{20 / \sqrt{50}})$

$P(\frac{5\sqrt{50}}{20} \le Z \le \frac{10\sqrt{50}}{20})$

$P(\frac{\sqrt{50}}{4} \le Z \le \frac{\sqrt{50}}{2})$

$\sqrt{50} \approx 7.071$より、

$P(\frac{7.071}{4} \le Z \le \frac{7.071}{2})$

$P(1.76775 \le Z \le 3.5355)$

ここで、標準正規分布の累積分布関数を$\Phi(z)$とすると、求める確率は$\Phi(3.5355) - \Phi(1.76775)$で計算できる。問題文のヒントより$Z \ge 3.1$ のとき $\Phi(Z) = 1$と考えるため、$\Phi(3.5355) \approx 1$。

$\Phi(1.76775)$を求める。1.76と1.77の間を補完する方法がある。しかし、ここでは近似的に$1.77$の値を使うことにする。標準正規分布表より、$\Phi(1.77) \approx 0.9616$とする。

したがって、求める確率は$1 - 0.9616 = 0.0384$

3. 最終的な答え

0.0384