不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=3$ であるとき、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $3(x-1) < 2(x+a)$ を $x$ について解きます。

$3x - 3 < 2x + 2a$

$3x - 2x < 2a + 3$

$x < 2a + 3$

この不等式を満たす最大の整数 $x$ が 3 であるということは、

$3 < 2a + 3 \le 4$

が成り立つ必要があります。

これは、以下の2つの不等式に分解できます。

$3 < 2a + 3$

$2a + 3 \le 4$

それぞれを解くと、

$3 < 2a + 3$

$0 < 2a$

$0 < a$

そして、

$2a + 3 \le 4$

$2a \le 1$

$a \le \frac{1}{2}$

したがって、$a$ の範囲は

$0 < a \le \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$0 < a \le \frac{1}{2}$