与えられた式 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化して簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化して簡略化せよ。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役である $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

分子を展開します。

$\sqrt{2} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{10} + \sqrt{6}$

分母を展開します。 $(\sqrt{5} - \sqrt{3}) (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ は和と差の積であるため、 $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2$ となります。

$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

したがって、与えられた式は次のように簡略化できます。

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$