不等式 $|x+2| - |x-1| > x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x+2| - |x-1| > x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして解きます。

$x$ の値によって、絶対値の中身の符号が変わる点に注意します。

(i) $x < -2$ のとき

$x+2 < 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、

$|x+2| = -(x+2) = -x-2$

$|x-1| = -(x-1) = -x+1$

不等式は

$(-x-2) - (-x+1) > x$

$-x-2+x-1 > x$

$-3 > x$

よって、$x < -3$。この範囲は$x < -2$を満たします。

(ii) $-2 \le x < 1$ のとき

$x+2 \ge 0$ かつ $x-1 < 0$ なので、

$|x+2| = x+2$

$|x-1| = -(x-1) = -x+1$

不等式は

$(x+2) - (-x+1) > x$

$x+2+x-1 > x$

$2x+1 > x$

$x > -1$

よって、$-1 < x < 1$。

(iii) $x \ge 1$ のとき

$x+2 > 0$ かつ $x-1 \ge 0$ なので、

$|x+2| = x+2$

$|x-1| = x-1$

不等式は

$(x+2) - (x-1) > x$

$x+2-x+1 > x$

$3 > x$

よって、$1 \le x < 3$。

(i), (ii), (iii) より、$x < -3$ または $-1 < x < 1$ または $1 \le x < 3$ なので、

$x < -3$ または $-1 < x < 3$。

3. 最終的な答え

$x < -3$ または $-1 < x < 3$