円錐を底面に平行な平面で高さが3等分されるように3つの立体に分けたとき、真ん中の立体の体積が $9\pi$ cm$^3$ である。一番下の立体の体積を求める。

1. 問題の内容

円錐を底面に平行な平面で高さが3等分されるように3つの立体に分けたとき、真ん中の立体の体積が $9\pi$ cm$^3$ である。一番下の立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

円錐を底面に平行な平面で高さが3等分されるように切断した場合、それぞれの立体の相似比は1:2:3となる。

したがって、体積比は $1^3:2^3:3^3 = 1:8:27$ となる。

一番上の円錐の体積を $V_1$、真ん中の立体の体積を $V_2$、一番下の立体の体積を $V_3$ とすると、

$V_1 : V_1+V_2 : V_1+V_2+V_3 = 1:8:27$ となる。

$V_1$ は体積比が1なので、1とする。

$V_1 + V_2 = 8$ なので $V_2 = 8 - 1 = 7$

$V_1 + V_2 + V_3 = 27$ なので $V_3 = 27 - 8 = 19$

真ん中の立体の体積 $V_2$ が $9\pi$ cm$^3$ であるから、$V_2 = 7k = 9\pi$ とおくと、$k = \frac{9\pi}{7}$ となる。

一番下の立体の体積は $V_3 = 19k$ なので、

$V_3 = 19 \times \frac{9\pi}{7} = \frac{171\pi}{7}$

したがって、一番下の立体の体積は、

体積比で考えると、上の円錐を1とすると、真ん中は7、一番下は19となる。真ん中の体積が $9\pi$ なので、一番下の体積は $\frac{9\pi}{7} \times 19 = \frac{171\pi}{7}$ cm$^3$

3. 最終的な答え

$\frac{171\pi}{7}$ cm$^3$