原点をOとする座標空間に2点A(2, 3, 1), B(-2, 1, 3)がある。ベクトルOCがベクトルOAとベクトルOBに垂直で、かつベクトルOCの絶対値が$\sqrt{3}$となるような、x座標が正である点Cの座標を求める。

1. 問題の内容

原点をOとする座標空間に2点A(2, 3, 1), B(-2, 1, 3)がある。ベクトルOCがベクトルOAとベクトルOBに垂直で、かつベクトルOCの絶対値が$\sqrt{3}$となるような、x座標が正である点Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

点Cの座標を(x, y, z)とする。

まず、ベクトルOCがベクトルOAとベクトルOBに垂直であることから、内積が0となる条件を使う。

$\vec{OC} \cdot \vec{OA} = 0$

$\vec{OC} \cdot \vec{OB} = 0$

これらの式に座標を代入する。

$2x + 3y + z = 0$ ...(1)

$-2x + y + 3z = 0$ ...(2)

(1) + (2)より

$4y + 4z = 0$

$y = -z$ ...(3)

(1)に(3)を代入する。

$2x + 3(-z) + z = 0$

$2x - 2z = 0$

$x = z$ ...(4)

次に、ベクトルOCの絶対値が$\sqrt{3}$であるという条件を使う。

$|\vec{OC}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{3}$

$x^2 + y^2 + z^2 = 3$ ...(5)

(3)と(4)を(5)に代入する。

$z^2 + (-z)^2 + z^2 = 3$

$3z^2 = 3$

$z^2 = 1$

$z = \pm 1$

(4)より、$x = z$なので、$x = \pm 1$

問題文より、x座標が正であることから、$x = 1$。

(3)より、$y = -z$なので、$z=1$ のとき $y=-1$。

したがって、点Cの座標は(1, -1, 1)。

3. 最終的な答え

(1, -1, 1)