2つの平面 $\alpha: x - y + 2z - 4 = 0$ と $\beta: 2x + y - z - 5 = 0$ の交線を含み、点 $(4, 2, 3)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの平面 $\alpha: x - y + 2z - 4 = 0$ と $\beta: 2x + y - z - 5 = 0$ の交線を含み、点 $(4, 2, 3)$ を通る平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの平面の交線を含む平面の方程式は、実数 $k$ を用いて

$x - y + 2z - 4 + k(2x + y - z - 5) = 0$

と表すことができます。

この平面が点 $(4, 2, 3)$ を通るので、

$4 - 2 + 2(3) - 4 + k(2(4) + 2 - 3 - 5) = 0$

$4 - 2 + 6 - 4 + k(8 + 2 - 3 - 5) = 0$

$4 + 2k = 0$

$2k = -4$

$k = -2$

これを平面の方程式に代入すると、

$x - y + 2z - 4 - 2(2x + y - z - 5) = 0$

$x - y + 2z - 4 - 4x - 2y + 2z + 10 = 0$

$-3x - 3y + 4z + 6 = 0$

$3x + 3y - 4z - 6 = 0$

3. 最終的な答え

$3x + 3y - 4z - 6 = 0$