空間内に2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が与えられています。 $l_1: (x, y, z) = (2, 3, 1) + s(2, 1, 1)$ $l_2: (x, y, z) = (1, -1, 3) + t(3, 1, -1)$ ただし、$s, t$ は実数です。 直線 $l_1, l_2$ 上を動く点をそれぞれ $P, Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さの最小値を求め、選択肢の中から最も適切なものを選びます。

1. 問題の内容

空間内に2つの直線 $l_1$ と $l_2$ が与えられています。

$l_1: (x, y, z) = (2, 3, 1) + s(2, 1, 1)$

$l_2: (x, y, z) = (1, -1, 3) + t(3, 1, -1)$

ただし、$s, t$ は実数です。

直線 $l_1, l_2$ 上を動く点をそれぞれ $P, Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さの最小値を求め、選択肢の中から最も適切なものを選びます。

2. 解き方の手順

点 $P$ は $l_1$ 上の点なので $P = (2 + 2s, 3 + s, 1 + s)$ と表せます。

点 $Q$ は $l_2$ 上の点なので $Q = (1 + 3t, -1 + t, 3 - t)$ と表せます。

ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ は次のようになります。

$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (1 + 3t - (2 + 2s), -1 + t - (3 + s), 3 - t - (1 + s)) = (-1 + 3t - 2s, -4 + t - s, 2 - t - s)$

線分 $PQ$ の長さが最小となるのは、$\overrightarrow{PQ}$ が $l_1$ の方向ベクトル $(2, 1, 1)$ と $l_2$ の方向ベクトル $(3, 1, -1)$ の両方に垂直なときです。つまり、内積が0となる条件を使います。

$\overrightarrow{PQ} \cdot (2, 1, 1) = 0$ より

$2(-1 + 3t - 2s) + 1(-4 + t - s) + 1(2 - t - s) = 0$

$-2 + 6t - 4s - 4 + t - s + 2 - t - s = 0$

$6t - 6s - 4 = 0$

$3t - 3s - 2 = 0$

$3t - 3s = 2$ ...(1)

$\overrightarrow{PQ} \cdot (3, 1, -1) = 0$ より

$3(-1 + 3t - 2s) + 1(-4 + t - s) - 1(2 - t - s) = 0$

$-3 + 9t - 6s - 4 + t - s - 2 + t + s = 0$

$11t - 6s - 9 = 0$

$11t - 6s = 9$ ...(2)

(1)式より $3s = 3t - 2$ なので、 $6s = 6t - 4$ を(2)式に代入すると

$11t - (6t - 4) = 9$

$5t + 4 = 9$

$5t = 5$

$t = 1$

$t = 1$ を (1) 式に代入すると

$3(1) - 3s = 2$

$3 - 3s = 2$

$3s = 1$

$s = \frac{1}{3}$

$s = \frac{1}{3}$, $t = 1$ を $\overrightarrow{PQ}$ に代入すると

$\overrightarrow{PQ} = (-1 + 3(1) - 2(\frac{1}{3}), -4 + 1 - \frac{1}{3}, 2 - 1 - \frac{1}{3}) = (-1 + 3 - \frac{2}{3}, -3 - \frac{1}{3}, 1 - \frac{1}{3}) = (\frac{4}{3}, -\frac{10}{3}, \frac{2}{3})$

$PQ = |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(\frac{4}{3})^2 + (-\frac{10}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{100}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{120}{9}} = \sqrt{\frac{40}{3}} = \sqrt{\frac{120}{9}} = \frac{\sqrt{120}}{3} = \frac{\sqrt{4 \cdot 30}}{3} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{30}}{3}$

答えは ⑤ です。