与えられた多項式 $x^2+3xy+2y^2+x+2y$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2+3xy+2y^2+x+2y$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理します。

$x^2 + 3xy + 2y^2 + x + 2y = x^2 + (3y+1)x + (2y^2+2y)$

次に、定数項 $2y^2+2y$ を因数分解します。

$2y^2+2y = 2y(y+1)$

次に、多項式全体を因数分解することを考えます。

$x^2 + (3y+1)x + 2y(y+1)$

$$(x + ay)(x + by) = x^2 + (a+b)x + aby$$

という形になるはずです。

$a+b = 3y+1$ と $ab = 2y(y+1)$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a = 2y$ と $b = y+1$ が条件を満たすことがわかります。

なぜなら、$a+b = 2y + (y+1) = 3y+1$ であり、$ab = 2y(y+1)$ だからです。

したがって、

$x^2 + (3y+1)x + 2y(y+1) = (x+2y)(x+y+1)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x+2y)(x+y+1)$